Dubbio su ideale di un anello quoziente

Messaggioda Fra27 » 04/07/2019, 11:27

Salve a tutti, ho bisogno di una delucidazione riguardo agli ideali di un anello quoziente. Premetto che sto studiando la decomposizione primaria. Un esercizio chiedeva di dimostrare che:
Sia $I$ un ideale proprio di $A$. $I$ è primario $\iff$ $(0)$ è un ideale primario di \(A/I \) .

Sono iniziati quindi a venirmi dei dubbi esistenziali sulla struttura degli ideali di un anello quoziente. Ciò che ho capito è che gli ideali di \(A/I \) sono della forma \(I/I \) con $J$ ideale di $A$ contenente $I$.
Ho paura di dire un'enorme cavolata (se non peggio), ma ci provo lo stesso. $(0)$ sarà proprio \(I/I \)?
Mi scuso in anticipo per ciò che ho detto, ma vorrei davvero chiarire questa mia perplessità. Grazie a chi risponderà!!
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Re: Dubbio su ideale di un anello quoziente

Messaggioda caulacau » 04/07/2019, 18:46

Hai fatto un po' di confusione coi simboli.

Volevi scrivere che gli ideali di \(A/I\) sono della forma \(J/I\) con $J$ ideale di $A$ che contiene $I$.

Formalmente, esiste una biiezione monotòna tra l'insieme \(\mathcal{I}(I)\) degli ideali di $A$ che contengono $I$ e l'insieme degli epimorfismi \(h : A/I \to B\). Un tale epimorfismo $h$ corrisponde al quoziente \((A/I)/\ker h\) (cioè il primo teorema di isomorfismo dice che \(B\cong (A/I)/\ker h\)), e \(\ker h\) è proprio un ideale di \(A/I\).
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Re: Dubbio su ideale di un anello quoziente

Messaggioda caulacau » 04/07/2019, 18:55

(prova a pensare da solo a come \(\ker h\) si identifichi a un ideale di $A$ che contiene $I$: un tale $h$ è indotto per passaggio al quoziente da un solo \(\bar h : A \to B\) che ha la proprietà per cui \(\ker \bar h \supseteq I\), e da qui, che relazione deve esserci tra \(\ker h\) e \(\ker \bar h\)?)
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Re: Dubbio su ideale di un anello quoziente

Messaggioda Fra27 » 04/07/2019, 19:49

caulacau ha scritto:Hai fatto un po' di confusione coi simboli.

Volevi scrivere che gli ideali di \( A/I \) sono della forma \( J/I \) con $ J $ ideale di $ A $ che contiene $ I $.

Esatto, pardon!!

caulacau ha scritto:(prova a pensare da solo a come \( \ker h \) si identifichi a un ideale di $ A $ che contiene $ I $: un tale $ h $ è indotto per passaggio al quoziente da un solo \( \bar h : A \to B \) che ha la proprietà per cui \( \ker \bar h \supseteq I \), e da qui, che relazione deve esserci tra \( \ker h \) e \( \ker \bar h \)?)

Ho provato a ragionare utilizzando un diagramma commutativo, definendo:
\( h: A/I \to B \)
\( \bar{h}: A \to B \)
\(\pi: A \to A/I \)
Allora si ha che \( h \circ \pi= \bar{h} \). Quindi $ker(\bar{h})=ker(h \circ \pi)=\pi^{-1}(ker(h))$.
Sapendo che esiste una corrispondenza biunivoca tra ideali di $A$ contenenti $I$ e ideali di \(A/I\), ed essendo \(ker(h)\) un ideale di \(A/I\), allora \(ker(\bar{h})\) è un ideale di $A$ contenente $I$. E' tutto molto confuso, ma non mi viene in mente altro sinceramente
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