Ogni sottogruppo è generato da sottogruppi ciclici e altri esercizi

da **marco2132k** » 05/07/2019, 16:24

Ciao. Quelli che seguono non sono necessariamente esercizi correlati.

1. Siano $ G $ e $ H=\langle h_1,\dots,h_n\rangle $ rispettivamente un gruppo e un sottogruppo di $ G $ generato da $ h_1,\dots,h_n\in G $; allora $ H $ è generato dall'unione $\bigcup_{i=1}^n\langle h_i\rangle $ dei sottogruppi ciclici generati da ciascun $ h_i $.

Dimostrazione. Il sottogruppo $ H $ è il g.l.b. della famiglia dei sottogruppi di $ G $ contenenti gli $ h_i $, e di fatto il minimo. Allora basta provare che quell'unione, che già contiene ogni generatore di $ H $, è contenuta in ciascun sottogruppo di suddetta famiglia. Così è, perché se $ K\leqq G $ contiene ciascun $ h_i $, allora esso contiene anche ogni $ \langle h_i\rangle $. $ \square $

2. Siano $ H_1,\dots,H_n $ sottogruppi di un gruppo $ G $. Allora $ H_1\cdots H_n $ è generato dall'unione $ \bigcup_{i=1}^n H_i $.

Dimostrazione. Innanzitutto, il prodotto degli $ H_i $ contiene ogni $ H_i $. Poi, quell'insieme è ancora il più piccolo sottogruppo contenente ciascun $ H_i $, perché se $ \bigcup_i H_i\subset K $, per un sottogruppo $ K $, allora ogni prodotto di $ h_i $ è in $ K $.

3. Che relazione c'è tra il prodotto di sottogruppi e il g.l.b. di una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio $ V $? Nel senso, posso definire la somma di una famiglia $ \left\{W_i\right\}_{i\in I} $ indicizzata da un insieme non necessariamente finito $ I $ come il sottospazio
\[
\sum_{i\in I} W_i:=\left\{w_1+\dots+w_n:\text{$ w_i\in\bigcup_{i\in I}{W_i} $, per ogni $ n\in\mathbb{N} $}\right\}
\] ed è $ \bigvee \left\{W_i\right\}_{i\in I}=\sum_{i\in I} W_i $. In una famiglia $ \left\{H_i\right\}_{i\in I} $ di sottogruppi, posso sicuramente dare la stessa definizione (è la stessa definizione di fatto, data per il gruppo abeliano $ \left(V,{+}\right) $), ma vale ancora che $ \bigvee \left\{H_i\right\}_{i\in I} $ è generato dall'unione degli $ H_i $? A occhio mi pare di sì, che sia la stessa cosa solo riformulata per tenere conto della possibilità che $ I $ sia infinito.

da **j18eos** » 07/07/2019, 09:09

g.l.b.?

da **marco2132k** » 07/07/2019, 11:41

Greatest lower bound c:

Ogni sottogruppo è generato da sottogruppi ciclici e altri esercizi

Ogni sottogruppo è generato da sottogruppi ciclici e altri esercizi

Re: Ogni sottogruppo è generato da sottogruppi ciclici e altri esercizi

Chi c’è in linea