Esercizio con principio d'induzione

[Maro]

Salve, dovrei dimostrare che per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) si ha \(\displaystyle 8\mid 9^{n}+7 \).

Ho proceduto a verificarla per n=0:

\(\displaystyle \displaystyle 8\mid 9^{n}+7 \Leftrightarrow \exists h\in \mathbb{Z}\: \: t.c.\: \: 9^{n}+7 = 8h \)

\(\displaystyle 9^{0} + 7 =8h \Rightarrow 8 = 8h \Rightarrow h=1\in \mathbb{Z} \)

I problemi sorgono per n+1:

\(\displaystyle 9^{n} + 7 =8h \Rightarrow 9^{n} =8h-7 \)

\(\displaystyle 9^{n+1} + 7 =8h \Rightarrow 9\cdot 9^{n} =8h-7 \)

\(\displaystyle 9 \cdot (8h-7) =8h-7 \Rightarrow 64h=56 \Rightarrow h=\frac{7}{8} \notin \mathbb{Z} \)

Potete per piacere dirmi dove sbaglio?

[axpgn]

Perdonami ma $8h$ non può essere uguale a due cose diverse ...

Io farei così ... per il passo induttivo devi dimostrare che $9^(n+1)+7$ è divisibile per $8$ dato per ipotesi che lo sia $9^n+7$
Ora abbiamo $9^(n+1)+7=7+9*9^n=7+9^n+8*9^n=(9^n+7)+(8*9^n)$ ovvero la prima parentesi è divisibile per $8$ per ipotesi, la seconda perché è un multiplo di $8$ ... fatto.

[Maro]

Ti ringrazio davvero tanto.

Un'ultima cosa, potresti spiegarmi perchè non posso sostituire $8h-7$ a $9^{n}$ anche nel passo induttivo?
Tu hai detto che non può essere uguale a due cose, però io lì lo vado solo a sostituire

[axpgn]

Tu hai detto che non può essere uguale a due cose, però io lì lo vado solo a sostituire

Beh, no, tu hai scritto …

\( \displaystyle 9^{n} + 7 =8h \)

\( \displaystyle 9^{n+1} + 7 =8h \)

e ovviamente $8h$ non può contemporaneamente essere pari a $9^n+7$ e $9^(n+1)+7$, non ti pare?

[axpgn]

Un'ultima cosa, potresti spiegarmi perchè non posso sostituire $8h-7$ a $9^{n}$ anche nel passo induttivo?

Non l'ho mai detto, semplicemente ho usato un'altra strada …