Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

[rsrre1588]

Come faccio a calcolare il discriminante dell'equazione di terzo grado X^3 - (Y^2 + 1) per vedere che è irriducibile?

Oppure devo calcolare il discriminante dell'equazione di secondo grado in y cioè l'equazione -Y^2 + X^3 - 1 = 0 il cui discriminante è 4*(X^3 - 1). Le radici sono - sqrt(X^3 - 1) e + sqrt(X^3 - 1). Ma che me ne faccio di esse?


Non ho capito dopo che devo fare per stabilire l'irriducibilità del polinomio considerato.

[rsrre1588]

X^3 - Y^2 - 1 su Z[Y] è della forma X^3 - 1. Le radici terze di -1 sono -1 in Z, (1- i*sqrt(3))/2 in C,(1 + i*sqrt(3))/2 in C.
Ma come faccio a stabilire se è irriducibile in Z[X,Y] e in C[X,Y]?
X^3 - Y^2 - 1 su Z[X] è della forma - Y^2 - 1. Il discriminante è -4. Le radici quadrate di -4 sono -2i,2i.
Con i ho indicato l'unità immaginaria.
-4 è un quadrato in C, ma -4 non è un quadrato in Z, e quindi, che cosa posso concludere?
Spero in qualche risposta perché non è ancora chiaro.