14/07/2019, 16:30
14/07/2019, 22:00
15/07/2019, 00:20
caulacau ha scritto:"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?
15/07/2019, 10:19
jinsang ha scritto:Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=C[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $V(I)={(0,0)}$, ma I non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I≃\mathbb{C}^2\) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base $overline{1}, overline{x}$)
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
è falso.jinsang ha scritto:Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
16/07/2019, 12:45
16/07/2019, 12:57
basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
16/07/2019, 14:26
j18eos ha scritto:Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \( \displaystyle+ \) "altro".
j18eos ha scritto:limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
jinsang ha scritto:Sia $ K $ campo algebricamente chiuso.
$ A=k[x_1,...,x_n] $ anello.
$ I\subsetA $ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $ \mathbb{V}(I) $ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \( A/I \) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
jinsang ha scritto:Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.caulacau ha scritto:"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?
Sì.
Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $ V=P_1\uu...\uuP_s $ (i $ P_i $ sono punti), stessi studiando l'anello \( A/\mathbb{I}(V) \).
Allora \( \mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) dove ogni \( \mathbb{I}(P_i) \) è massimale.
Quindi in questo caso \( A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \( \bigoplus A/\mathbb{I}(P_i) \) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $ K^s $.
Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $ I\subsetA $ ideale, da cui costruisco $ mathbb{V}(I) $ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \( A/I \) (non di \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \) che è il problema sopra).
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$ A=\mathbb{C}[x,y] $
$ I=(x^2,y) $
Ottengo che $ mathbb{V}(I)={(0,0)} $, ma $ I $ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \( A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \( {\overline{1},\overline{x}} \))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
16/07/2019, 14:37
16/07/2019, 15:00
Martino ha scritto:Un esempio ancora più facile: $ I=(X^2) $ ideale di $ k[X] $. Ovviamente $ V(I)={0} $ è finito. Ma $ k[X]//I $ non è somma diretta di campi (non è ridotto).
Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?
18/07/2019, 17:42
No, stavo proprio affermando l'ipotesi seguente:jinsang ha scritto:[...]Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso)[...]j18eos ha scritto:limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
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