Fibrazioni discrete su ${\cal B}$

da **Indrjo Dedej** » 27/07/2019, 09:37

$\newcommand\B{\mathcal B} \newcommand\src{\text{src}}$

caulacau ha scritto:Mostrare che il funtore $\src : \B/B\to\B$, che manda una freccia $f : X\to B$ nel suo dominio $X$, è una fibrazione discreta.

Mmmmh... diciamo che la difficoltà qua sta nella lettura e nella comprensione di quello che sta scritto e dei ruoli. Allora, diciamo inanzitutto che gli oggetti di $\B/B$ sono morfismi di $\B$ con codominio $B$ e che un morfismo da $s \colon X \to B$ a $t \colon Y \to B$ è un morfismo $u \colon X \to Y$ in $\B$ per cui $s=tu$.
Il funtore $\src \colon \B/B \to \B$ agisce così:

manda $X \to B$ in $X$
manda un morfismo $(X \to B) \to (Y \to B)$ in $X \to Y$ dimenticando che \[(X \to B)=(Y \to B)\circ(X \to Y)\]

in effetti $\src$ è amnestico.
Veniamo al dunque. $\src$ è una fibrazione discreta perché per ogni morfismo \[f \colon Q \to \src(P \to B)\,,\] (vale a dire $f \colon Q \to P$), esiste una e una sola freccia $u \colon R \to (P \to B)$ in $\B/B$: preso $R$ come morfismo $Q \to B$, il morfismo $v$ è praticamente $f$ con la proprietà che $\src$ dimentica.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Avete mai provato a fare una cosa del genere?

Codice:: $ \newcommand\B{\mathcal B} $

da **caulacau** » 27/07/2019, 12:44

Bene,e il resto? :-)

da **Indrjo Dedej** » 16/08/2019, 15:40

Fra un po' arriva...

da **Indrjo Dedej** » 19/08/2019, 21:16

$
\newcommand\fib{\operatorname{Fib}}
\newcommand\B{\mathcal{B}}
\newcommand\E{\mathcal{E}}
\newcommand\Set{\mathbf{Set}}
\newcommand\op[1]{#1^\text{op}}
\newcommand\id[1]{\text{id}_#1}
\newcommand\obj{\operatorname{obj}}
\newcommand\el{\operatorname{el}}
$Piccolo disclaimer. L'esercizio ha richiesto tanto lavoro, in questo periodo particolare della mia vita incompatibile con il tempo rimasto. Quando posso (e non potrei), nelle dimostrazioni e nelle sottigliezze compio delle ellissi abbastanza vistose, se non delle omissioni: questo perché, nolente, questo aspetto tecnico è passato in secondo piano rispetto all'idea generale e alle costruzioni. Ciò non toglie che io possa aver perso il controllo delle mie costruzioni: in tal caso mi scuso, ma è positivo per voi (non mi riferisco a caulacau, che ovviamente mastica queste cose) se siete stati in grado di indivduare errori, bravi

; a testimoniare anche che c'è un po' di vita qui dentro, oltre ai soliti quattro gatti.
Non credo neppure di ritornare a dedicarmi a questo mega-esercizio prima di tanto tempo, per problemi, impegni e... incominciano i corsi all'università per me a breve.

... allora, dividiamo in tre parti l'esercizio:

caulacau ha scritto:Mostrare che la categoria $\text{Fib}({\cal B})$ così definita è equivalente alla categoria dei funtori $F : {\cal B}^\text{op}\to Set$, ovvero che:
esiste un funtore $\int : [{\cal B}^\text{op}, Set]\to \text{Fib}({\cal B})$
esiste un funtore $\chi : \text{Fib}({\cal B})\to [{\cal B}^\text{op}, Set]$
esistono degli isomorfismi $\int\circ\chi\cong \text{id}_{\text{Fib}({\cal B})}$ e $\chi\circ\int \cong \text{id}_{[{\cal B}^\text{op}, Set]}$

Costruzione del funtore $\chi \colon \fib(\B) \to [\op\B,\Set]$. Data una fibrazione discreta in $F \colon \E \to \B$ in $\fib(\B)$, costruisco il funtore $\chi(F) \colon \op\B \to \Set$ in questo modo:

ogni oggetto $x$ di $\B$ viene mandato in $(\chi(F))(x):=\{u \in \obj(\E) \mid F(u)=x\}$, oggetto di $\Set$
ogni morfismo $\op f \colon b \to a$ di $\op\B$ viene spedito nel morfismo $(\chi(F))(f) \colon (\chi(F))(a) \to (\chi(F))(b)$, determinabile univocamente dal fatto che $F \colon \E \to \B$ sia una fibrazione discreta (come? spoiler che segue.)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Semplicemente, essendo $F$ una fibrazione discreta, per ogni $f \colon F(a) \to F(b)$ in $\B$ esiste una e una sola freccia $v \colon c \to b$ per cui $F(v)=f$: ecco $(\chi(F))$!

Abbiamo appena visto come $\chi$ agisce sugli oggetti, adesso vediamo cosa fa coi morfismi: ad ogni morfismo di funtori $H \colon (\E' \overset{G}{\to} \B) \to (\E \overset{F}{\to} \B)$ si fa corrispondere la trasformazione naturale $\alpha \colon \chi(F) \to \chi(G)$ per cui il seguente diagramma commuta

$\xymatrix{ (\chi(F))(x) \ar[r]^{\alpha_x} & (\chi(G))(x) \\ (\chi(F))(y) \ar[r]_{\alpha_y} \ar[u]^{(\chi(F))(f)} & (\chi(G))(y) \ar[u]_{(\chi(G))(f)} }$

per ogni $f \colon x \to y$ di $\op\B$. Abbiamo già visto $(\chi(-))(f)$, con $f$ morfismo, e $\alpha$ è fornito da $H$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Basta vedere le definizioni degli enti che si stanno usando, in particolare di $(\chi(-))(x)$, con $x$ oggetto.

Parte I finita! Anzi no! La costruzione fatta qui ovviamente funziona quando $\B$ è piccola. E qualora non lo sia?

Costruzione del funtore $\int \colon [\op\B,\Set] \to \fib(\B)$. Facciamo che questa è abbastanza ardua per arrivarci da solo :-D

: studiando altre cose mi sono imbattuto in questa pagina¹. Cerco di riorganizzare un po' le cose e completare (non che ci sia tanto da raccontare ancora...), anche per altri che leggono, ignorano², ma cercano di capire un minimo, altrimenti sono discorsi tra i soliti quattro gatti e non è divertente...

Come pima su un funtore $G \colon \op\B \to \Set$, oggetto di $[\op\B,\Set]$, costruiamo una fibrazione discreta, oggetto di $\fib(\B)$; in particolare $G$ viene mandato nel funtore sbadato $\int G \colon \el_G (\B) \to \B$ così fatto:

manda $(x,a)$ in $x$
manda $(x,a) \to (y,b)$ in $x \to y$

Si può provare che $\int G$ è una fibrazione discreta su $\B$.
Vediamo che fa $\int G$ coi morfismi. Va da trasformazioni naturali

$\xymatrix{ \mathcal{B}^\text{op} \ar@/^1pc/[r]^G="g1" \ar@/_1pc/[r]_{G^\prime}="g2" & \mathbf{Set} \ar@{=>}"g1";"g2" ^\alpha }$

a funtori di fibrazioni discrete $H \colon \int G \to \int G'$: il tutto sta nel capire quanto è contorta la situzione, facile, no? :twisted:

La quiete dopo la tempesta. Se siete arrivati qui, avrete bestemmiato e imprecato moltissimo. Comunque è semplice (a patto di calarsi nei menadri delle costruzioni e capire i ruoli degli oggetti in gioco) constatare i due isomorfismi.

Fiù... A pensare che manca il gran finale

caulacau ha scritto:Mostrare che dato $F : {\cal B}^\text{op}\to Set$ c'è una biiezione tra l'insieme $FB$ e l'insieme di tutte le mappe di fibrazioni discrete tra la fibrazione discreta $\text{src} : {\cal B}/B\to {\cal B}$ e $\chi(F)$.

Note

Come non averci pensato prima? Pensavo di fare in un altro modo, ma solo vivoli cechi... ↑
Ignorante non è un'offesa, eh... ↑

da **caulacau** » 20/08/2019, 00:08

Indrjo Dedej ha scritto:$
\newcommand\fib{\operatorname{Fib}}
\newcommand\B{\mathcal{B}}
\newcommand\E{\mathcal{E}}
\newcommand\Set{\mathbf{Set}}
\newcommand\op[1]{#1^\text{op}}
\newcommand\id[1]{\text{id}_#1}
\newcommand\obj{\operatorname{obj}}
\newcommand\el{\operatorname{el}}
$
ogni oggetto $x$ di $\B$ viene mandato in $(\chi(F))(x):=\{u \in \obj(\E) \mid F(u)=x\}$, oggetto di $\Set$

La fibra di $x$ mediante $F$ sarà, in generale, una categoria; ma è la proprietà di fibrazione discreta ad assicurare che sia una categoria discreta; riempi(te) i dettagli di questa affermazione. (Giustificando la nomenclatura "fibrazione discreta", da un lato; e dall'altro, constatando che la definizione di $\chi(F)$ è proprio $x\mapsto F^\leftarrow(x)$, se con tale simbolo si intende l'insieme degli oggetti che $F$ manda in $x$, e l'insieme dei morfismi che $F$ manda in $\text{id}_x$).

ogni morfismo $\op f \colon b \to a$ di $\op\B$ viene spedito nel morfismo $(\chi(F))(f) \colon (\chi(F))(a) \to (\chi(F))(b)$, determinabile univocamente dal fatto che $F \colon \E \to \B$ sia una fibrazione discreta (come? spoiler che segue.)

C'è un ingarbugliamento; $\chi(F)(f)$ è una funzione tra due insiemi, precisamente le fibre sopra dominio e codominio di $f$; dovresti scrivere meglio dove un elemento di $F^\leftarrow a$ viene mappato da $\chi(F)(f)$ in un elemento di $F^\leftarrow b$.

Abbiamo appena visto come $\chi$ agisce sugli oggetti, adesso vediamo cosa fa coi morfismi: ad ogni morfismo di funtori $H \colon (\E' \overset{G}{\to} \B) \to (\E \overset{F}{\to} \B)$ si fa corrispondere la trasformazione naturale $\alpha \colon \chi(F) \to \chi(G)$ per cui il seguente diagramma commuta
$\xymatrix{ (\chi(F))(x) \ar[r]^{\alpha_x} & (\chi(G))(x) \\ (\chi(F))(y) \ar[r]_{\alpha_y} \ar[u]^{(\chi(F))(f)} & (\chi(G))(y) \ar[u]_{(\chi(G))(f)} }$

per ogni $f \colon x \to y$ di $\op\B$. Abbiamo già visto $(\chi(-))(f)$, con $f$ morfismo, e $\alpha$ è fornito da $H$.

C'è certamente modo di scriverlo meglio. Per esempio, potresti dire che se $E\in G^\leftarrow X$ allora $HE\in F^\leftarrow X$... e poi, la naturalità va dimostrata, non solo scritta :-)

Parte I finita! Anzi no! La costruzione fatta qui ovviamente funziona quando $\B$ è piccola. E qualora non lo sia?

Si può trasportare tutto a un universo più grande, dove la categoria $[{\cal B}^\text{op}, \Set]$ è legittima, e dove lo è anche $\el$.

Costruzione del funtore $\int \colon [\op\B,\Set] \to \fib(\B)$. Facciamo che questa è abbastanza ardua per arrivarci da solo : studiando altre cose mi sono imbattuto in questa pagina¹. Cerco di riorganizzare un po' le cose e completare (non che ci sia tanto da raccontare ancora...), anche per altri che leggono, ignorano², ma cercano di capire un minimo, altrimenti sono discorsi tra i soliti quattro gatti e non è divertente...
Come pima su un funtore $G \colon \op\B \to \Set$, oggetto di $[\op\B,\Set]$, costruiamo una fibrazione discreta, oggetto di $\fib(\B)$; in particolare $G$ viene mandato nel funtore sbadato $\int G \colon \el_G (\B) \to \B$ così fatto:
manda $(x,a)$ in $x$
manda $(x,a) \to (y,b)$ in $x \to y$
Si può provare che $\int G$ è una fibrazione discreta su $\B$.

Certo, si può. Quindi fallo :-)

Bravo, comunque. Meno male che qualcuno c'è.

Note

Come non averci pensato prima? Pensavo di fare in un altro modo, ma solo vivoli cechi... ↑
Ignorante non è un'offesa, eh... ↑

Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Chi c’è in linea