Doppia quantificazione
Inviato: 15/07/2019, 12:56
Ciao. Ho un dubbio stupidissimo. Mi sto chiedendo se la formula (non alludo a nulla di "formale"; non so nulla di logica)
\[
\tag {1}\label{eqn:prima} \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right)\land\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right)
\] sia logicamente equivalente a
\[
\tag {2}\label{eqn:seconda} \forall x\ldotp x\in S\implies\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y\right)
\]
Se \( x\in S \) è vera, allora, che preso \( y\in T \) valga il prodotto dei due predicati, è altrettanto vera; poi, quanto si assuma la \( \ref{eqn:seconda} \), le \( \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right) \) e \( \left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right) \) valgono ancora? Non lo so. Siano \( x\in S \) e \( y\in T \); allora vale il prodotto dei due predicati; ergo \( \ref{eqn:prima} \)? Così però ho dimostrato che la
\[
\tag{3}\label{eqn:terza} \forall x\ldotp\forall y\ldotp\left(x\in S\land y\in T\right)\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y
\] è equivalente a \( \ref{eqn:seconda} \) (come l'analogo per le funzioni), e non che \( \ref{eqn:prima}\iff\ref{eqn:seconda} \).
\[
\tag {1}\label{eqn:prima} \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right)\land\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right)
\] sia logicamente equivalente a
\[
\tag {2}\label{eqn:seconda} \forall x\ldotp x\in S\implies\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y\right)
\]
Se \( x\in S \) è vera, allora, che preso \( y\in T \) valga il prodotto dei due predicati, è altrettanto vera; poi, quanto si assuma la \( \ref{eqn:seconda} \), le \( \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right) \) e \( \left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right) \) valgono ancora? Non lo so. Siano \( x\in S \) e \( y\in T \); allora vale il prodotto dei due predicati; ergo \( \ref{eqn:prima} \)? Così però ho dimostrato che la
\[
\tag{3}\label{eqn:terza} \forall x\ldotp\forall y\ldotp\left(x\in S\land y\in T\right)\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y
\] è equivalente a \( \ref{eqn:seconda} \) (come l'analogo per le funzioni), e non che \( \ref{eqn:prima}\iff\ref{eqn:seconda} \).
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
La cosa mi serve per una dimostrazione di algebra lineare. In pratica non ho capito come convenga appellarsi al principio di induzione in un certo caso. Ma mi interessa anche di suo.