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ESERCIZIO

Sia p un numero primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e nel caso in cui sia riducibile , determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.

Io ho proceduto così:
p = 1. Il polinomio diventa X^4 + 10*X + 3 = (X^2 + 3)^2 - 6*X^2 + 10*X - 6.

Ora (X^2 + 3)^2 è sempre positivo e non si annulla mai in Z, - 6*X^2 + 10*X - 6 è sempre negativo e non si annulla mai in Z.


p=3. Il polinomio diventa X^4 + 30*X + 9 = (X + 3)*(X^3- 3*X^2 + 9*X + 3).

Per dimostrare che X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3 è irriducibile in Z come devo procedere?


Il mio procedimento potrebbe essere conforme all'esercizio?


Spero in tante risposte. Una buona nottata.

Non me ne intendo molto di queste cose, ma ho provato a fare l'esercizio lo stesso usando le tecniche da "scuola secondaria", magari possono andar bene lo stesso.
Ho usato il Teorema di Ruffini e poi ho applicato la regola di Ruffini. Ho ottenuto che il polinomio
$P(x)=x^4 + 10*p*x + 3*p$ in $ZZ[x]$ è scomponibile solo per $p=3$, per cui
$P(x)=x^4 + 30*x + 9=(x+3)(x^3-3x^2+9x+3)$, ho preso in considerazione il polinomio quoziente
$P_1(x)=x^3-3x^2+9x+3$ e Ruffini mi garantisce che non è scomponibile in $ZZ[x]$.

E il polinomio x^3 + 3*x^2 + 9 *X + 3 come si dimostra che è irriducibile?

Con il Teorema di Ruffini.

@melia ha scritto:Con il Teorema di Ruffini.

Il termine noto è $3$, si possono provare solo i divisori di $3$, quindi $+-1$ e $+-3$ e nessuno dei 4 numeri annulla il polinomio.

Conosci il criterio di Eisenstein?

Sia D un dominio a fattorizzazione essenzialmente unica e sia F il suo campo delle frazioni. Sia f(X) ∈ D[X] il polinomio f(X) = a_nX^n +a_n−1X^(n−1) +...+a_1X +a_0, con a_i ∈ D per ogni i = 0,...,n. Assumiamo che esista un elemento primo π ∈D per cui accadono i seguenti tre fatti
1. π non divide a_n
2. π divide a_i per ogni i = 0,1, …., n - 1
3. π^2 non divide a_0.
Allora f(X) `e irriducibile in F[X].

Ma potresti spiegarmi come poterlo applicare nel mio esempio? Grazie molte.