ESERCIZIO
Sia p un numero primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e nel caso in cui sia riducibile , determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Io ho proceduto così:
p = 1. Il polinomio diventa X^4 + 10*X + 3 = (X^2 + 3)^2 - 6*X^2 + 10*X - 6.
Ora (X^2 + 3)^2 è sempre positivo e non si annulla mai in Z, - 6*X^2 + 10*X - 6 è sempre negativo e non si annulla mai in Z.
p=3. Il polinomio diventa X^4 + 30*X + 9 = (X + 3)*(X^3- 3*X^2 + 9*X + 3).
Per dimostrare che X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3 è irriducibile in Z come devo procedere?
Il mio procedimento potrebbe essere conforme all'esercizio?
Spero in tante risposte. Una buona nottata.