RIDUCIBILITA' E IRRIDUCIBILITA' DEI POLINOMI IN Z[X]

[rsrre1588]

ESERCIZIO
RIDUCIBILITA' E IRRIDUCIBILITA' DEI POLINOMI IN Z[X]
Sia p un primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di f(X) = X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e, nel caso sia riducibile, determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Ho provato a risolverlo io e l'ho risolto così. (X + 3) divide f(X) se p = 3 che è un numero naturale, quindi -3 è una radice di f(X). Pertanto il polinomio X^4 + 30*X + 9 è riducibile in Z[X].
La sua fattorizzazione in irriducibili in Z[X] è (X+3)*(X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3)
X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3 è sicuramente irriducibile in Z[X] ma come faccio a dimostrarlo?
Spero in un vostro aiuto matematici.

Moderatore: Martino

Chiudo per crossposting e per il maiuscolo.

[@melia]

Moderatore: @melia

Dovresti modificare il titolo, nei forum il maiuscolo equivale a gridare, in questo forum non amiamo chi alza la voce.

[rsrre1588]

ESERCIZIO
RIDUCIBILITA' E IRRIDUCIBILITA' DEI POLINOMI IN Z[X]
Sia p un primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di f(X) = X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e, nel caso sia riducibile, determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Ho provato a risolverlo io e l'ho risolto così. (X + 3) divide f(X) se p = 3 che è un numero naturale, quindi -3 è una radice di f(X). Pertanto il polinomio X^4 + 30*X + 9 è riducibile in Z[X].
La sua fattorizzazione in irriducibili in Z[X] è (X+3)*(X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3)
X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3 è sicuramente irriducibile in Z[X] ma come faccio a dimostrarlo?
Spero in un vostro aiuto matematici.

[@melia]

Non so perché hai ripostato la stessa domanda alla quale, io con Ruffini e Martino, molto più competente di me, con il criterio di Eisenstein avevamo già risposto.

[rsrre1588]

Si, ma non riesco ad applicare il criterio di Eisenstein al polinomio X^3 - 3*X^2 + 9*X + 3 in Z[X].
Come si applica nel mio caso?
Se per cortesia, potevate aiutarmi.
Grazie e scusa per aver postato nuovamente la stessa cosa.

[@melia]

1. π non divide $a_n$
2. π divide $a_i$ per ogni $i = 0,1, …., n - 1$
3. $π^2$ non divide $a_0$.
Allora f(X) `e irriducibile in F[X].

Il polinomio è $P(x)=x^3 - 3*x^2 + 9*x + 3$, c'è un primo $3$ che
1. non divide $a_n=a_3=1$,
2. divide $a_(n-1)=a_2= -3$, $a_(n-2)=a_1=9$ e anche $a_(n-3)=a_0=3$,
3. infine $pi^2=9$ non divide $a_0=3$
allora $P(x)=x^3 - 3*x^2 + 9*x + 3$ è irriducibile in $ZZ[x]$