Ciao. Ci sono tremila post sui vari forum/MSE/ph che riguardano questa dimostrazione, quindi questo mio intervento è un po' inutile. Voglio solo schiarirmi le idee cercando di scrivere qualcosa di comprensibile qui.
Sia \( A \) infinito numerabile. Allora ogni suo sottoinsieme \( E \) è o finito o infinito numerabile.
Sia \( E\subset A \) infinito. Sia \( x_{{-}}\colon\mathbb{N}\to A \) biiettiva. Definisco una successione \( n_{{-}} \) di naturali come segue. Sia \( n_1 \) il minimo dell'immagine inversa \( x_{{-}}^{-1}(E) \) (tale numero esiste, per il WOP); ammesso di aver definito \( n_{k-1} \), per un \( k\in\mathbb{N} \), pongo \( n_k \) come il primo naturale successivo a \( k-1 \), tale che \( x_{n_k} \) stia in \( E \). L'insieme \( T \) dei naturali per cui \( n_{{-}} \) è definita coincide con \( \mathbb{N} \), per il principio di induzione (vero? \( 0 \) gli appartiene, e se la funzione è definita per \( k \), lo è anche per \( k+1 \). C'è una motivo particolare, e non puramente estetico, per usare l'induzione completa nella definizione?). Ora, la successione \( \mathbb{N}\to E \) data da \( x_{n_{{-}}} \) è banalmente iniettiva. Perché è anche suriettiva?