\(\int^c \hom(c,c)\)
Inviato: 04/08/2019, 23:07
\(\def\C{\mathcal{C}}\)Visto che in Italia è pieno di gente che sa queste cose, che facciano questo esercizio.
Se \(\C\) è una categoria piccola, calcolate il colimite del diagramma
\[
\coprod_{c \to c'} \hom_{\C}(c',c)\underset{t}{\overset{s}\rightrightarrows} \coprod_{c\in \C} \hom_{\C}(c,c)
\] ossia il coequalizzatore di \(s,t\), essendo \(s,t\) definite rispettivamente come
\[
\begin{align*}
s\left(u : c\to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = f\circ u\\
t\left(u : c \to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = u\circ f.
\end{align*}
\]
Se \(\C\) è una categoria piccola, calcolate il colimite del diagramma
\[
\coprod_{c \to c'} \hom_{\C}(c',c)\underset{t}{\overset{s}\rightrightarrows} \coprod_{c\in \C} \hom_{\C}(c,c)
\] ossia il coequalizzatore di \(s,t\), essendo \(s,t\) definite rispettivamente come
\[
\begin{align*}
s\left(u : c\to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = f\circ u\\
t\left(u : c \to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = u\circ f.
\end{align*}
\]