Riducibilità o meno di polinomi

Messaggioda rsrre1588 » 08/08/2019, 09:25

Studiare la riducibilità del polinomio (e nel caso sia riducibile trovare la fattorizzazione in irriducibili)
X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y]
e del polinomio
X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y]
dove con Z(5)[X,Y] si indica l'anello dei polinomi a coefficienti interi modulo 5 in due indeterminate.

Io ho provato a farlo.

Per quanto riguarda il secondo polinomio assumendo che 2 è congruo - 3 in Z(5)

A tentativi
(x+y)(x-y) =x^2-y^2 = x^2 +4y^2 mod(5)
(x+2y)(x-2y)= x^2-4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+3y)(x-3y) =x^2-9y^2 = x^2 - 4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+4y)(x-4y) = x^2-16y^2= x^2-11y^2=x^2-6y^2=x^2-y^2=x^2+4y^2 mod(5)

(x+5y)(x-5y)= x^2-25y^2 =x^2 mod(5)

il polinomio X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y] sembra irriducibile. Ma ci sono altri procedimenti per dimostrarlo?

E per quanto riguarda il polinomio X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y] come si procede?
rsrre1588
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Re: Riducibilità o meno di polinomi

Messaggioda caulacau » 11/08/2019, 11:24

Se \(X^2+4Y^4\) si fattorizza in \(Q[Y][X]\), deve farlo in fattori lineari, ossia devono esistere due polinomi $p,q$ tali che
\[
X^2+4Y^4 = (X-p)(X-q)
\] del resto, affinché ciò sia vero deve essere $p=-q$ e $p^2 = -4Y^4$. In $Q[Y]$ non ci sono soluzioni per questa equazione.
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Re: Riducibilità o meno di polinomi

Messaggioda rsrre1588 » 11/08/2019, 16:30

Il procedimento per X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y] sembra corretto? Ma se non volessi procedere a tentativi come dovrei arrivare al risultato finale per arrivare a stabilire se è irriducibile o riducibile in Z(5)[X,Y]?
rsrre1588
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