Studiare la riducibilità del polinomio (e nel caso sia riducibile trovare la fattorizzazione in irriducibili)
X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y]
e del polinomio
X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y]
dove con Z(5)[X,Y] si indica l'anello dei polinomi a coefficienti interi modulo 5 in due indeterminate.
Io ho provato a farlo.
Per quanto riguarda il secondo polinomio assumendo che 2 è congruo - 3 in Z(5)
A tentativi
(x+y)(x-y) =x^2-y^2 = x^2 +4y^2 mod(5)
(x+2y)(x-2y)= x^2-4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+3y)(x-3y) =x^2-9y^2 = x^2 - 4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+4y)(x-4y) = x^2-16y^2= x^2-11y^2=x^2-6y^2=x^2-y^2=x^2+4y^2 mod(5)
(x+5y)(x-5y)= x^2-25y^2 =x^2 mod(5)
il polinomio X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y] sembra irriducibile. Ma ci sono altri procedimenti per dimostrarlo?
E per quanto riguarda il polinomio X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y] come si procede?