Un saluto e buone vacanze a tutti! Oggi vi chiedo una mano sui sistemi di Peano e sulla ricorsività.
L'insieme $\mathbb{N}$ soddisfa le seguenti proprietà:
(P1) $\emptyset \in \mathbb{N}$;
(P2) $ \forall n \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \implies \sigma(n) \in \mathbb{N}$;
(P3) $ \forall n \in \mathbb{N}, \sigma(n) \ne \emptyset$;
(P4) $ \forall n \in \mathbb{N}, \sigma(n) = \sigma(m) \implies n = m$;
(P5) $S \subseteq \mathbb{N}$ tale che $(\emptyset \in S \wedge \forall n \in S \implies \sigma(n) \in S) \implies S = \mathbb{N}$.
Queste sono le premesse, ora vengono le perplessità banali che mi sono annotato:
- una terna $(E, s, e)$, dove $E$ è un insieme con un elemento $e \in E$ ed una funzione successore $s: E \to E$ soddisfa gli assiomi P1 e P2. In che modo viene soddisfatto P1? In una terna siffatta non mi sembra che $\emptyset$ debba appartenere necessariamente ad $E$. Se $E$ non è apodittico allora può darsi il caso in cui P2 è verificato mentre P1 non lo è;
- una terna $(E, s, e)$ che soddisfa gli assiomi P3 e P4 è una terna costituita da un insieme $E$ con $e \in E$ e la funzione iniettiva $s: E \to E$ tale che $e \notin s(E)$, dunque $s$ non è suriettiva. Però se $e \notin s(E)$ allora $e$ non è il successore di nessun elemento di E e dunque $e = \emptyset$ oppure $e \in s(E)$.
- infine non mi è chiaro l'enunciato del Teorema di Ricorsività che nel testo di riferimento è dato così: Sia $(N, s, e)$ un sistema di Peano (ossia soddisfa gli assiomi P3, P4 e P5). Per ogni funzione $t: X \to X$ e $x \in X$ esiste un'unica funzione $f: N \to X$ tale che $f(e) = x$ e $f(s(n)) = t(f(n)) \forall n \in N$.