Esercizio sul periodo di un elemento $S_{\mathbb{N}}$

[mauri54]

Ciao a tutti.
Ho il seguente esercizio: Sia $S_{\mathbb{N}}$ il gruppo delle applicazioni invertibili da $\mathbb{N}$ in se stesso. Provare che in $S_{\mathbb{N}}$ ci sono elementi di periodo infinito.

Deve essere una stupidaggine ma non riesco a trovare un esempio di funzione con periodo infinito cioè che $f^n\ne\text{id}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Pensavo ad una funzione $f$ che mi scambi ad esempio l'1 e il 2 e nei restanti numeri coincida con l'identità e:

-se la compongo due volte però il 2 deve andare in 3 e il 3 in 2 e dal 4 in poi coincida con l'identità
-se la compongo tre volte il 3 va in 4 e il 4 in 3 e poi da 5 in poi coincida con l'identità
e via così

Questa funzione ha periodo infinito. Se l'idea fosse giusta come si potrebbe scrivere una funzione del genere?

[caulacau]

La funzione successore è biiettiva quando ristretta alla sua immagine, che è isomorfa a $\mathbb N$, ed ha periodo infinito.

[mauri54]

La funzione successore è biiettiva quando ristretta alla sua immagine, che è isomorfa a $\mathbb N$, ed ha periodo infinito.

Giusto! Ma vorrei proprio scriverla e mostrare con i conti che $f^n\ne\text{id}$ per ogni $n$.

[caulacau]

Beh, comunque la giri, questa diventa una cosa vera per assioma: ti stai chiedendo come mai, se $x$ è un insieme, \(x\cup \{x\}\neq x\). Per i numeri natural generati alla Von Neumann, infatti, la funzione successore è la funzione di classe
\[
\text{s} : \textsf{Set} \to \textsf{Set} : x \mapsto x\cup\{x\}
\] e i numeri naturali si ottengono mediante l'orbita di \(\varnothing\) rispetto all'azione di \(\langle \text{s}\rangle \subseteq S_{\sf Set}\). Che questa orbita sia infinita è un assioma.

[vict85]

Gli elementi di \(S_{\mathbb{N}}\) che hanno periodo infinito ce ne sono infiniti e ti invito a cercare esempi. Comunque ecco un esempio:
\[g(n) = \begin{cases} 0 & \text{per }n = 0 \\
1 & \text{per }n = 2 \\
2(k+1)+1 & \text{per }n = 2k+1 \text{ con } k \ge 0 \\
2(k-1) & \text{per }n = 2k \text{ con } k \ge 2 \end{cases}\]

Un esempio un po' più complesso consiste nel costruire la permutazione come "prodotto di cicli disgiunti di ordine sempre più grande".