Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

[pdercoli]

@Martino
esattamente. So che ancora nulla mi garantisce che troverò coppie all'infinito ma quello è un passaggio che ancora devo fare. Sto descrivendo il mio lavoro passo dopo passo. Se uno dei passaggi, indipendentemente dalla banalità, è corretto posso procedere altrimenti il mio lavoro sarà nullo e ci possiamo fermare.
Questo crivello mi consente di trovare tutti i primi gemelli indipendentemente dall'efficienza? Se sì posso andare avanti altrimenti ci sarà un errore che invaliderà probabilmente tutto il mio lavoro

@axpgn
grazie per elencare i punti non chiari perché così mi aiuti a correggere e/o chiarirli

Funzioni? quando le hai definite? dove? come? finora si è parlato di valori x ma non di funzioni …

Ho usato la parola "funzione" forse impropriamente. Intendo che le quattro espressioni restituiscono tutti gli $x$ valori in funzione di $(k,y)$. Credo possano essere definite come funzioni

Cosa sono i "valori produttivi" ? quando li hai definiti? dove? come?

in $6k+-1$ ho coppie che sono primi gemelli e coppie che non lo sono. Ne consegue che ci sono valori $k$ che posso "associare a", o che "producono", o che "identificano" coppie di primi gemelli e valori $k$ che non lo sono.
Mi sembrava un concetto abbastanza chiaro e che non necessitava di particolari specificazioni e lo ho espresso con questo termine. Spero ora sia chiaro

Che significa "sono modulari"?

qui anticipo un qualcosa che ancora devo descrivere perché mi hai chiesto qual è e su cosa fondo la mia strategia dato che con un crivello non si dimostra nulla.

$X"a1" mod 6k-1=(6k-1)-k$
$X"a2" mod 6k-1=k$
$X"b1" mod 6k+1=(6k+1)-k$
$X"b2" mod 6k+1=k$.

in soldoni tutti i composti multipli di $v_1=5$ si trovano via via a distanza di $5$ quindi come detto la sequenza è $4,9,14,19,24 etc.$
Per i valori $X_"a2"$ la sequenza è $6,11,16,21,26 etc.$.
Quelli di $v_2=7$ saranno tutti a distanza di $7$ e così via. Questa è una proprietà fondamentale perché fa disporre i composti in modo regolare e grazie a questo posso fare un passaggio sul crivello che andrò a spiegare una volta validato questo.

L'hai trovata questa sequenza? O la devi trovare?

sì l'ho trovata ma come detto sto procedendo step by step proprio perché i concetti per me sono comunque impegnativi da esporre ad altre persone. Come ho scritto se il crivello è corretto e trova tutti e solo primi gemelli posso andare al passo successivo che sarà quello di determinare con precisione fin dove i valori che ho ricavato non potranno essere più eliminati da passi successivi del crivello e quindi se non sono stati eliminati corrispondono ad un valore $k$ che restituisce una coppia di gemelli con assoluta certezza

[axpgn]

Credo possano essere definite come funzioni

Bene, allora definiscile esattamente cioè descrivi il loro dominio, il codominio e la legge di corrispondenza tra i due (espressione, algoritmo o quello che vuoi purché sia chiaro e non ambiguo)

[pdercoli]

ho detto di aver usato il termine "funzione" impropriamente. Non mi serve lo studio di funzioni per procedere

Sono valori che dato $6x+-1$ l'insieme di tutti i composti multipli $6k+-1$ risolve le equazioni

a1. $6x_"a1"+1 = (6k-1)(6y-1)$
a2. $6x_"a2"-1 = (6k-1)(6y+1)$
b1. $6x_"a1"-1 = (6k+1)(6y-1)$
b2. $6x_"a1"+1 = (6k+1)(6y+1)$

con $x,k,y ∈ NN >0$

da cui ricavo che
$x_"a1"= 6ky-k-y$
$x_"a2"= 6ky+k-y$
$x_"b1"= 6ky-k+y$
$x_"b2"= 6ky+k+y$

è corretto o sbagliato? Si capisce che sono per me tutte variabili? Posso usare questi valore per costruire un crivello funzionante che indipendentemente da efficienza e altri parametri funzioni e permette di selezionare solo valori $k$ corrispondenti a coppie di primi gemelli $6k+-1$?

Se la risposta è sì allora posso sfruttare la modularità di questi valori per costruire oggetti matematici elementari: dei regoli.

il crivello assume questa forma (notare che procedo per ogni valore di $6k+-1$ indipendentemente sia esso primo o composto)



posso costruire dei regoli corrispondenti ad ogni valore $6k+-1$

costruirò questi regoli con queste caratteristiche:
- sono lunghi $6k+-1$
- sono perfettamente trasparenti eccetto per i punti che posso far corrispondere ai valori $x$ dei composti ponendo il primo valore opaco in testa e il secondo valore dopo 2"k" valori




posso eseguire il crivello con i regoli posizionando il primo regolo di ogni passo in corrispondenza del primo valore della sequenza $x_"a1"$ (se un regolo appartenente ai valori $v_-$) o $x_b1$ (se $v_+$) e allineando tutti gli altri in questo modo:



sovrapponendo in questo modo tutti i regoli lungo una linea di tutti i valori $k$ da $1$ a $∞$ posso dire che i valori che non vedrò più perché coperti da porzioni opache sono quelli che non corrispondono a coppie di primi gemelli mentre quelli che vedo al di sopra del valore del primo regolo dell'ultima sequenza inserita sono invece quelli per cui $6k+-1$ sono primi gemelli.

Se anche questo è corretto ho trovato strutture modulari composte da più regoli combinando infinite sequenze. Da queste posso sapere:
- la lunghezza di ogni modulo composto da più regoli
- il numero esatto di unità opache e trasparenti
- l'esatta lunghezza della parte definita del modulo composto
- facendo la media fra i valori in trasparenza di tutto il modulo composto con la sola porzione definita dimostrare che costruendo moduli sempre più grandi all'infinito avrò necessariamente un numero sempre maggiore di $k$ che in $6k+-1$ sono primi gemelli

[axpgn]

$x_"a1"= 6ky-k-y$
$x_"a2"= 6ky+k-y$
$x_"b1"= 6ky-k+y$
$x_"b2"= 6ky+k+y$

Queste sono funzioni.
In maniera un po' più formale, potremmo riscrivere la prima così: $f_1: NN^2 -> NN\ \ \ \ x=f_1(k,y)=6ky-k-y$

Se manteniamo fissa una delle variabili indipendenti e variamo l'altra otteniamo una progressione aritmetica, per esempio variando $k$ e fissando $y$ avremo $4, 9, 14, 19, …$; questo perché avendo, per esempio, $x_(k,1)=6ky-k-y$ il successivo sarà $x_(k+1,1)=6*(k+1)*1-(k+1)-y=6k+6-k-1-1=6k-k-y+5=x_(k,1)+5$
Variando anche la $y$ ne avremo infinite di queste progressioni aritmetiche (da moltiplicare per quattro dato che le funzioni sono quattro )

In pratica, funziona come il crivello di Eratostene ma con la complicazione di avere infinite successioni invece di una sola

- facendo la media fra i valori in trasparenza di tutto il modulo composto con la sola porzione definita dimostrare che costruendo moduli sempre più grandi all'infinito avrò necessariamente un numero sempre maggiore di $ k $ che in $ 6k+-1 $ sono primi gemelli

E questo da dove salta fuori? Da che cosa lo deduci?
Da quanto detto puoi solo dire che i composti di quella forma sono infiniti (ovvio direi … ) ma nessuno ti garantisce che questi composti esauriscano tutti i primi da un certo punto in poi …

[pdercoli]

come i moduli singoli si possono costruire moduli composti che equivalgono ad avanzare con i passi del crivello ma che a differenza di tutti i crivelli hanno una regolarità intrinseca che ho individuato.

Possiamo per un attimo dimenticarci i valori o le funzioni così come vanno definite come hai fatto tu che a me servivano solo a stabilire che si ripetono a moduli di $6k+-1$ all'infinito e usare solo i moduli o "regoli" che singolarmente hanno queste caratteristiche evidenti:
- ogni modulo ha lunghezza $6k+-1$
- data la proposizione "il valore $k$ restituisce in $6k+-1$ una coppia di primi gemelli" la lunghezza di ogni modulo corrisponde ad altrettanti valori booleani $V;F$ che rispondono a questa (o usando l'immagine dei regoli trasparente/opaco)
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"a1;x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"b1;x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- ogni modulo ha $(6k+-1)-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ dei moduli sono "definti" nel senso che sono sempre veri
- tutti i valori $V$ dei moduli non sono "definiti" nel senso che deve essere verificato che altri moduli non abbiano in quella posizione $k$ valori $F$. Un solo valore $F$ annulla definitivamente la possibilità che un dato $k$ possa produrre primi gemelli

ora esattamente come per i regoli posso fare i passi del crivello costruendo moduli composti formati da più sequenze.
Ho usato l'immagine dei regoli perché nel tentare di spiegarla mi è sembrata la più efficace. Prendendo ad esempio 7 regoli lunghi 5 ($v_1$) e 5 regoli lunghi 7 ($v_2$) avrò un nuovo modulo lungo $v_1*v_2$ come evidenziato





Di questo posso contare con esattezza quanti singoli regoli ho di ciascun $v_a$, quanti sono in conseguenza i valori $V;F$ complessivi e potrò contare i nuovi elementi $V;F$ risultanti in questo nuovo modulo lungo 35.
Questo posso farlo all'infinito ed equivale ad eseguire i passi del crivello ma questa volta potendo avere fondamentali informazioni su quanti $k$ incontrerò passo dopo passo.
Ho infatti scoperto (penso non sia noto) che i valori risultanti dalla composizione di tutti i moduli composti passo dopo passo risponde a sequenze regolari quindi non solo le posso contare ma posso generalizzare i rapporti.

Con una dimostrazione per induzione dimostro che queste sequenze vengono rispettate all'infinito (e qui è il punto su cui ho personalmente più dubbi perché potrei aver introdotto sofismi algebrici)

se la dimostrazione è corretta è relativamente facile arrivare a dimostrare che ogni modulo composto che creo non potrà che incrementare di $n$ valori >1 i $k$ che corrispondono a primi gemelli

[axpgn]

Ho riletto varie volte il tuo intervento ma non mi è molto chiaro … mi pare che sostanzialmente "la regolarità", "i regoli", ecc. possano essere riassunti da quanto ho scritto nel post precedente.
Come ho detto, ognuna di quelle quattro funzioni genera infinite progressione aritmetiche (ovvero successioni che hanno la caratteristica di avere i termini a distanza fissa); per esempio, prendendo la prima funzione, variando $k$ e fissando $y$ di volta in volta otteniamo $4, 9, 14, 19, …$ se $y=1$ (la ragione è $5$), $9, 20, 31, 41, …$ se $y=2$ (la ragione è $11$), $14, 31, 48, 65, …$ se $y=3$ (la ragione è $17$) e così via.
Ora, il fatto che esistano infinite successioni (diverse) che "producano" numeri composti (alla fine del giro) non garantisce nulla a riguardo dell'esistenza o meno di infiniti primi (tantomeno gemelli); sarà altamente improbabile ma non puoi escludere che tali successioni alla fin fine generino tutti i naturali di quel tipo da un certo punto in poi …
Peraltro, diversamente da quanto affermi qui

... la possibilità che un dato $ k $ possa produrre primi gemelli ...

vorrei ricordarti che i vari $k$ e $y$ producono, sempre, numeri composti non primi

[pdercoli]

corretto, preciso che:
- i variando $k$ ho due successioni rispettivamente per $v_-$ e $v_+$

Ora, il fatto che esistano infinite successioni (diverse) che "producano" numeri composti (alla fine del giro) non garantisce nulla a riguardo dell'esistenza o meno di infiniti primi (tantomeno gemelli)

le successioni dei numeri composti mi serve per arrivare agli oggetti modulari e in particolare all'oggetto modulo composto che ho evidenziato contornandolo di nero nell'ultima immagine. Questo è sia uno strumento per eseguire il crivello dei gemelli sia un oggetto matematico che risponde a precise leggi aritmetiche.
Studiando questo oggetto posso arrivare a quel che affermo perché ogni suo valore è esprimibile in formule rispetto i valori $v_-$ e $v_+$ che lo compongono.

Per questo ho bisogno di un po' di tempo perché devo scrivere formule un po' più articolate e probabilmente più che usare lo strumento del forum mi conviene aggiornare quelle che ho già fatto con i nomi condivisi e pubblicarle come immagini

[axpgn]

Non mi pare che tu abbia letto con attenzione quanto ho scritto sopra …
Finora stai solo generando un'infinità di progressioni aritmetiche ovvero successioni di numeri a distanza costante che i matematici chiamano "ragione" che è la stessa cosa dei tuoi "regoli/moduli".
Per quel che ne sappiamo, queste successioni potrebbero "coprire" tutti i naturali (da un certo punto in poi) non lasciando spazio ad eventuali primi gemelli.

Tra l'altro mi sorge un dubbio, non vorrei tu stia facendo confusione e quindi mi ripeto: gli infiniti $k$ e $y$ (e di conseguenza gli $x$ prodotti da questi) generano solo numeri composti, NON generano primi,

[pdercoli]

ho letto con attenzione e il passo successivo è proprio illustrare come queste successioni non copriranno tutti i naturali all'infinito. Occorrono alcuni passaggi e li sto traducendo rispetto alle diciture che abbiamo condiviso cercando di acquisire gli strumenti del forum e forse impiegherò un pochino per farlo.

No non sto facendo confusione, gli infiniti $k$ e $y$ generano solo $x$ che corrispondono a composti ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti e che di conseguenza sono potenzialmente produttivi di primi gemelli. Per saperlo ho prima individuato strutture modulari che man mano completano il quadro della disposizione della sequenza e in esse ho trovato sequenze aritmetiche discrete che mi consentono di attaccare il problema perché mi permettono di conoscere il numero preciso di valori "x" risultanti passo dopo passo. Non conoscevo l'uso del termine "ragione" e cercherò di farlo mio.

[axpgn]

... ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti …

Attento: una progressione aritmetica ha i termini a distanza costante (la ragione, appunto) ma la lunghezza della sequenza è infinita; inoltre, quel che è peggio, bisogna andare molto cauti quando si conta qualcosa che è infinito …