Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

[pdercoli]

Tu chiami M le ragioni delle progressioni aritmetiche che si possono generare indirettamente da quella quattro funzioni.
Chiamo M1 le ragioni derivanti dalla prima funzione f1
E siccome sono infinite, fisso una delle due variabili per avere una progressione sola (una alla volta, evidentemente) e quindi il "nome" della ragione di ogni progressione sarà M1k,y=i (dove la i rappresenta il valore fissato per la seconda variabile).
Ora, la ragione di una progressione aritmetica si trova facilmente, calcolando la differenza tra due termini consecutivi della progressione ovvero nel caso di M1 avremo M1k,y=i=[(6(k+1)i+(k+1)+i]−[(6ki+k+i]=6i+1 che in concreto produce M1k,y=1=7 e M1k,y=2=13 e M1k,y=3=19 e …

però non corrisponde a ciò che intendo io

$M_1$ comprende entrambe le progressioni aritmetiche delle funzioni $x_"a1"; x_"a2"$ oppure $x_"b1"; x_"b2"$ a seconda che le stiamo calcolando rispettivamente a $v_-$ oppure $v_+$

$x_"a1"; x_"a2";x_"b1"; x_"b2"$ distano rispettivamente le ragioni dei rispettivi $v_a$ (se $v_a$ è di tipo $v_-$ saranno gli $x_a$, se di tipo $v_+$ saranno gli $x_b$)

gli oggetti $M_a$ non sono dei valori ma dei range di $v_a$ valori corrispondenti a valori booleani $V;F$ che mi dicono se in quella posizione che occupano rispetto ad una sequenza di $k ∈ NN$ posso o non posso avere potenziali valori $k$ che in $6k+-1$ produce coppie di primi gemelli

quindi $M_1$ non equivale ad una sequenza di valori $NN$ distanti $5$ ma sfruttando questa proprietà costruisco una sequenza di valori booleani di tipo $V;F$ lunga la ragione di $v_a$. In essa i valori sono tutti $V$ tranne quelli che corrispondono ai due composti che sono $F$. Gli $x_"a1";x_"b1"$ sono in posizione $1$ mentre gli $x_"a2";x_"b2"$ sono distanti $2k$ valori per tutti i $k$ che restituiscono coppie di valori $v_-;v_+$

quindi
$M_1$ è lungo la ragione di $v_1=5$ ed equivale alla sequenza $F;V;F;V;V$
$M_2$ è lungo la ragione di $v_2=7$ ed equivale alla sequenza $F;V;F;V;V;V;V$
$M_3$ è lungo la ragione di $v_3=11$ ed equivale alla sequenza $F;V;V;F;V;V;V;V;V;V;V$
$M_4$ è lungo la ragione di $v_3=13$ ed equivale alla sequenza $F;V;V;F;V;V;V;V;V;V;V;V;V$ e via dicendo

ripetendo queste sequenze all'infinito e cogliendo la possibilità di costruire con esse strutture modulari composte da più $M_a$ (che equivale ad eseguire l'algoritmo dei primi gemelli) ho trovato la strada per capire quanti valori $V$ corrispondono a $k$ produttivi di coppie di gemelli rispetto ad ogni oggetto composto che ho chiamato $MM$ e che per essere descritto da funzioni deve essere studiato nelle sequenze dei valori che ho dichiarato.

Io continuo a parlare di sostanza e tu di forma. Dato che non so per ignoranza mia e perché non ho mai studiato matematica che tratta questo genere di oggetti (e di conseguenza come descriverli correttamente) ho usato l'immagine dei regoli che è a mio avviso più che efficace perché, e questo lo so con certezza, se in un algoritmo uso regoli o aree di memoria che contengono valori booleani fatte di bit è concettualmente la stessa cosa, sto descrivendo due strade per fare quel che faccio con le funzioni che uso per il crivello: cercare $k$ produttivi di primi gemelli. Con le funzioni ho i valori $x$ discreti ma devo contare all'infinito in modo sequenziale. Con i moduli ho strutture che mi consentono di sapere come crescono indipendentemente dal loro valore discreto man mano che introduco tutte le sequenze di $v_a$ e mi inoltro verso porzioni più grandi di $k$ che sto verificando e questa è la chiave per comprendere se tendono ad infinito oppure no

[axpgn]

$M_1$ comprende entrambe le progressioni aritmetiche …

E ti sbagli, dovresti rileggere con più attenzione quello che ho scritto: ho detto che $M1$ deriva dalla funzione $f_1$ quindi da una sola di quelle quattro non da due, non le ho "mischiate"

… quindi $ M_1 $ non equivale ad …

Premesso che $M1$ l'ho definito io quindi rappresenta ciò che ho detto io, se l'oggetto di cui parli è qualcosa di diverso allora definiscilo
È banale il concetto, lo sto dicendo dall'inizio ma finora chi ha definito formalmente qualcosa sono solo io e discutere su oggetti non ben definiti è come parlare lingue diverse, ci si intende poco …

Io continuo a parlare di sostanza e tu di forma.

Eh, questo è un errore grosso: la forma è sostanza (in Matematica di sicuro ) ... se pensi che basti "immaginarsi" gli oggetti di cui parli perché secondo te è più "efficace" senza definirli in modo univoco e non ambiguo, affinché tutti possano capire quello che dici, la vedo dura …

Coerentemente con ciò, non mi esprimo sulla "sostanza" del tuo ultimo post perché non l'ho capito … purtroppo … "It's my fault, not yours … "

[axpgn]

Ah, per "aiutarti" (qualsiasi cosa voglia dire ) ecco le "infinite progressioni aritmetiche" degli $x$ in funzione dei vari $k$ e $y$ con le varie ragioni ($M$) … o meglio: i termini iniziali delle progressioni, dato che sono di lunghezza infinita …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

EDIT: Dimenticavo: nessuno di quei valori ($x, k, y, M$) è un numero della forma $6n+-1$ con $n in NN$

[pdercoli]

Conosco oramai a memoria quelle sequenze e la sottolineatura che fai che non appartengono a numeri in forma $6n+-1$ conferma il misunderstanding. Quei valori sono gli $n$ che in $6n+-1$ selezionano una coppia di valori di non primi gemelli perché in essa c'è un composto del $5$ per le prime due e del $7$ per le ultime due: la loro forma è del tutto irrilevante.
Se le metti insieme e con esse annulli tutti gli $n$ corrispondenti a quei valori hai fatto un crivello in cui hai escluso tutte le coppie che non sono primi gemelli perché in essa trovi composti di qualche valore $v_1$ e/o $v_2$.

Prendiamo le prime due tabelle che hai fatto che corrispondono ai composti del 5:
rispetto i $NN$ da 1 a infinito e assegnando ad ogni $n$ un valore booleano avrò che
4=F, 5=V, 6=F, 7=V, 8=V
potendo ripetere questa sequenza di valori booleani all'infinito so che da n=4 a infinito ogni 5 valori avrò 2 composti del 5 e 3 non composti del 5. Questa sequenza di valori booleani è ciò che io intendo $M_1$

La tua definizione di $M$ invece corrisponde alle ragioni di $v_a$ che già sono note

[pdercoli]

aggiungo che per i 2 valori $F$ so che da quel momento in poi posso non considerarli più nella mia ricerca di primi gemelli mentre per i 3 valori $V$ questi potranno essere annullati via via dalla presenza di composti di altri $v_a$.

Gli oggetti $MM_a$ sono le strutture sempre modulari di sequenze che posso ottenere con l'unione di tutti gli $M$ da $M_1$ ad $M_a$

$M_1$ ed $M_2$ producono sequenze di $5*7=35$ valori che anche essi si ripeteranno sempre identiche. In generale la lunghezza di un modulo $MM_a$ è la produttoria di tutte le ragioni da $v_1$ a $v_a$.
Di questi alcuni valori li posso dedurre facilmente altri invece li ho studiati empiricamente riscontrando delle sequenze regolari che ho dimostrato per induzione e che mi portano a sapere per ogni $MM_a$ quanti sono i precisi valori $V;F$ (se la dimostrazione per induzione è corretta).

Quindi mi sono lasciato alle spalle le funzioni che mi danno valori discreti e studio oggetti totalmente nuovi che ho provato a descriverti con le immagini dei regoli che sono perfettamente equivalenti.
Non sto sminuendo l'importanza della forma ma cercando di far comprendere i concetti al meglio delle mie possibilità. Se i concetti sono validi e li hai compresi puoi valutarli e solo se sono consistenti ha senso ragionare sulla forma dove evidentemente io ho poco da dire e tu molto.

[axpgn]

… conferma il misunderstanding.

Nessun misunderstanding, almeno da parte mia, lo so bene che gli elementi di quella tabella sono i "semi" $x$ che generano tutti i composti di quella forma $6x+-1$, però ogni tanto mi viene qualche dubbio che ti si "mescolino" le cose …

Per esempio, questa frase;

Prendiamo le prime due tabelle che hai fatto che corrispondono ai composti del 5:

è quantomeno impropria dato che fai riferimento a "due tabelle" invece che solo alla prima colonna delle due tabelle (difatti se prendi per esempio dalla seconda colonna della prima tabella i valori $k=3$ e $y=2$ ottieni $x=31$ da cui $6x+1=6*31+1=187$ che non è multiplo di $5$)
Idem in quest'altra frase

… perché in essa c'è un composto del $ 5 $ per le prime due e del $ 7 $ per le ultime due:

Anche questo fatto

$4=F, 5=V, 6=F, 7=V, 8=V$

non è difficile da spiegare, in quanto partendo, per esempio, dal primo degli $x$ cioè $x=4$, moltiplicandolo per sei e dividendolo per cinque otteniamo il resto di $4$, perciò i resti dei quattro termini successivi saranno $0, 1, 2, 3$.
Se "correggiamo" questi cinque resti con $+-1$ otteniamo due valori divisibili per cinque e gli altri tre no.
Dato che i resti della divisione per cinque sono cinque e che il passo tra due termini $x$ è cinque, ecco spiegata la regolarità.
Analogamente si spiega per tutte la altre infinite progressioni.

Appurato questo rimane il solito problema: come dimostrare che gli (infiniti) elementi di quelle tabelle NON coprano tutti i naturali da un certo numero naturale in poi?

Non ho compreso bene cosa siano gli $MM$ ma se sono solo prodotti dei singoli $M$ non otterrai altro che sottoprogressioni delle progressioni aritmetiche originali … IMHO

[pdercoli]

Per esempio, questa frase;

Prendiamo le prime due tabelle che hai fatto che corrispondono ai composti del 5:

è quantomeno impropria dato che fai riferimento a "due tabelle" invece che solo alla prima colonna delle due tabelle (difatti se prendi per esempio dalla seconda colonna della prima tabella i valori $k=3$ e $y=2$ ottieni $x=31$ da cui $6x+1=6*31+1=187$ che non è multiplo di $5$)
Idem in quest'altra frase

… perché in essa c'è un composto del $ 5 $ per le prime due e del $ 7 $ per le ultime due:

lo è però $6x-1=6*31-1=185$
quindi $6x-1; 6x+1$ con $x=31$ produce una coppia $185;187$ che non sono primi gemelli.
Tutti i valori $NN$ da $1$ ad $∞$ sono in corrispondenza biunivoca con le coppie di valori potenzialmente di primi gemelli $6n+-1$. Se $n$ non appartiene a nessun $x_a1; x_a2; x_b1; x_b2$ al coppia è di primi gemelli

Appurato questo rimane il solito problema: come dimostrare che gli (infiniti) elementi di quelle tabelle NON coprano tutti i naturali da un certo numero naturale in poi?

Non ho compreso bene cosa siano gli MM ma se sono solo prodotti dei singoli M non otterrai altro che sottoprogressioni delle progressioni aritmetiche originali … IMHO

questo è il passaggio decisivo. Se è chiaro cosa intendo per $M_a$ a questo punto per sapere quali sono realmente primi gemelli dovrò verificarli tutti perché dai valori $M_1$ so solo che due non lo sono mentre degli altri non posso affermare nulla fino a che non ho verificato tutti i valori composti degli $M_a$ successivi.

per farlo devo prendere le sequenze $M_1$ ed $M_2$ ed individuare che esse a loro volta restituiscano una sequenza modulare composta che ho chiamato $MM_2$ che è la sequente



per comporla ho bisogno di $7$ sequenze allineate di $M_1$ e di $5$ di $M_2$ quindi ora ho un oggetto del tutto simile a $M_1$ ma che mi dice che ogni $35$ valori a partire da n=4 ne avrò una quantità che non contiene nessun composto né di $5$ né di $7$ nelle coppie di valori $v_-;v_+$

Scopro che 15 restano $V$ e così posso andare avanti all'infinito.
Con $MM_3$ che formerò con aggiungendo la sequenza $M_3$ dei composti dell'$11$ e $MM_2$. La nuova sequenza $MM_3$ sarà lunga 5*7*11 dovendo replicare $MM_2$ 11 volte e $M_3$ $35$ volte e così via .

Alcuni valori di $MM_a$ sono chiari come ad esempio la lunghezza. Avendo detto che intendo per $MM_a$ i moduli composti formati da tutte le sequenze da $M_1$ ad $M_a$ la lunghezza sarà la produttoria di tutti i $v_a$ usati quindi, se non sbaglio la notazione, $v_a!$

So anche quanti sono in totale tutti i valori booleani $V;F$ perché conosco il numero di tutti i $M_a$ usati ma devo scoprire se esista un rapporto che mi consente di sapere immediatamente quanti sono i valori booleani $V$ conoscendo semplicemente l'indice $a$ di $MM_a$.

Ho studiato quelle sequenze per i primi passi e ho trovato che anche esse rispettano rapporti precisi e anche abbastanza semplici. Se riprendi il post lungo lì ci sono tutti i passaggi della dimostrazione per induzione che se corretta mi permette di sapere quanti sono i booleani $V$ per tutti gli $MM_a$ e di conseguenza di quanto crescono in $MM_"a+1"$.

[axpgn]

lo è però $6x-1=6*31-1=185$

Ma che c'entra? Quella che cito io è la tabella del $6x+1$ anzi $6x+1=(6k-1)(6y-1)$ … non puoi rispondermi citandone un'altra …

Tutti i valori $ NN $ da $ 1 $ ad $ ∞ $ sono in corrispondenza biunivoca con le coppie di valori potenzialmente di primi gemelli $ 6n+-1 $. Se $ n $ non appartiene a nessun $ x_a1; x_a2; x_b1; x_b2 $ al coppia è di primi gemelli

Ma questo è ovvio (fin dall'inizio): ogni $n in NN$ sostituito in $6n+-1$ genera due dispari consecutivi, se nessuno dei due è composto sono primi gemelli …

Il resto lo guarderò dopo, quando avrò tempo …

[pdercoli]

scusa hai scritto 2a colonna della 1a e ho frainteso

[axpgn]

… questo è il passaggio decisivo. Se è chiaro cosa intendo per $M_a$ a questo punto per sapere quali sono realmente primi gemelli dovrò verificarli tutti perché dai valori $M_1$ so solo che due non lo sono mentre degli altri non posso affermare nulla fino a che non ho verificato tutti i valori composti degli $M_a$ successivi.

Verificarli tutti??? Vuoi veramente verificare tutti gli infiniti termini di infinite successioni di lunghezza infinita?
Auguri!

per farlo devo prendere le sequenze $ M_1 $ ed $ M_2 $ ed individuare che esse a loro volta restituiscano una sequenza modulare composta …

Anche questo fatto è abbastanza ovvio ... se unisci due progressioni aritmetiche quello che ottieni non sarà più una progressione aritmetica ma sarà comunque una successione in cui i termini si susseguono a distanze che si ripetono secondo un periodo che non è altro che il m.c.m. delle ragioni delle due progressioni originarie.
E così via aggiungendone una terza e poi una quarta e poi …

Scopro che 15 restano $ V $ e così posso andare avanti all'infinito.

Ma chi l'ha detto? Anzi … chi l'ha dimostrato? E qui il problema …
Come si generino gli $F$ e i $V$ l'ho spiegato precedentemente, ovviamente coll'allungarsi del "periodo" diventa sempre meno facile calcolare l'espressione giusta ma concettualmente fattibile.
Quello che non funziona è sempre lo stesso: non puoi contare all'infinito!
Il fatto che tu abbia studiato

Ho studiato quelle sequenze per i primi passi e ho trovato che anche esse rispettano rapporti precisi e anche abbastanza semplici.

è del tutto irrilevante ai fini della dimostrazione della congettura dei primi gemelli.
L'ho scritto qui sopra e nei post precedenti come si può arrivare a quelle sequenze ma non è questo il problema: la difficoltà intrinseca sta nel voler "contare" l'infinito; questo approccio non è sufficiente.
IMHO