Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

[pdercoli]

Una piccola nota per "giustificare" alcune apparenti contorsioni che sono presenti nel mio percorso che comunque è logico-deduttivo. Io sono partito da alcune osservazioni sul comportamento del crivello di Eratostene per ipotizzare che una chiave di lettura per comprendere i primi fosse nei rapporti geometrici che dal quadrato riconducono ai numeri interi. Questo mi ha portato alla forma numerica $6n+-1$. Da quel che ne potevo sapere il valore "n" in corrispondenza di coppie contenenti composti poteva procedere con salti irregolari al pari dei primi. Una volta ricavate le quattro equazioni mi sono tenuto quelle e sono andato avanti.
Questo vale per ogni singolo passo fatto che era totalmente al buio e per di più con poca conoscenza e mestiere.
Nella comunicazione ho cercato di mediare senza rinunciare alle immagini e alle idee che mi avevano suggerito perché forse la loro efficacia compensa la mia scarsa dimestichezza a scrivere matematica.

[Zero87]

Lentamente arrivo, ho avuto giorni complicati, pdercoli.
Praticamente, come in precedenza, definisci delle successioni del tipo: $6 \cdot (kp \pm 1)$ - con $k \in \NN$ e $p$ primo - che generano numeri non gemelli per un ragionamento simile a quello che ti ho detto in uno degli ultimi post che ho scritto.
Il prossimo passo è capire "i regoli".

[pdercoli]

Nessun problema, si è tornati tutti dalle ferie ahimè...

Praticamente, come in precedenza, definisci delle successioni del tipo: 6⋅(kp±1) - con k∈N e p primo

l'ultima cosa che avevi scritto corrispondeva esattamente ma questa non mi quadra.
Forse ho compreso male ma da quel che hai scritto le coppie di valori di questa serie sarebbero per $p=5$:
$24;36$ con $k=1$
$54;66$ con $k=2$ ecc.

non è così perché dovrebbero essere $25$, $35$, $55$, $65$.
Inoltre non considero sequenze con soli valori $p$ primi ma l'insieme di tutti i $6x+-1 = (6k+-1)(6y+-1)$ con $k$ e $y$ $∈NN$ (quindi per es. c'è anche il valore 625 = 25*25) con $k=4$ e $y=4$)

le combinazioni sono 4 e le ho chiamate:
$a1 = (6k-1)(6y-1)$
$a2 = (6k-1)(6y+1)$
$a1$ e $a2$ sono le successioni di tutti i composti di $6k-1$ nella serie di tutti i $6n+-1$

$b1 = (6k+1)(6y-1)$
$b2 = (6k+1)(6y+1)$
$b1$ e $b2$ sono le successioni di tutti i composti di $6k+1$ nella serie di tutti i $6n+-1$

i valori $x$ di queste serie restituiscono coppie $6n+-1$ che non sono di primi gemelli per tutti gli $n=x$ e le ho chiamate:
$a1x = (6k-1)y-k$
$a2x = (6k-1)y+k$
$b1x = (6k+1)y-k$
$b2x = (6k+1)y+k$

in pratica rispetto i valori $n$ tutti i composti del 5 cadono a due a due sempre ad intervalli di 5 (4; 6; 9; 11; 14; 16...)
tutti quelli del 7 ad intervalli di 7 (6; 8; 13; 15; 20; 22...) e così via.
Su questo imposto un crivello non più con i valori discreti ma modulare (ho fatto l'esempio dei regoli perché mi sembra efficace)

Se ad esempio voglio eliminare tutti i valori $n$ in cui ho composti del 5 so che partendo dal primo valore $n=4$ posso eliminare 2 valori ogni 5 disposti sempre in una sequenza "X-X--"
Per il 7 partendo da $n=6$ la sequenza è "X-X----".
Se considero le due sequenze insieme noto che, allineando 7 sequenze di composti del 5 e 5 sequenze di composti del 7, avrò una sequenza lunga 35 che anche essa si ripeterà all'infinito sempre con lo stesso ordine.
Questa è (sempre partendo dal valore $n=4$ che è il punto di partenza di tutti i moduli):

"X-X-XX-X-XXXX--XXXX-X-XX-X-X--X-X--"

e così posso andare avanti virtualmente all'infinito.

Con questa versione del crivello "modulare" mi sono disinteressato di "quali" sono i valori e concentrato su "quanti" sono trovando che questi aumentano con rapporti regolari.
Conoscendo la lunghezza totale, la lunghezza della parte che non sarà più modificata perché tutti i composti significativi in quel range sono presenti nel modulo composto, il numero esatto di valori potenzialmente produttivi di primi gemelli, si ottiene una stima che tende a crescere all'infinito dimostrando che se una persona eseguisse il crivello con i valori discreti è destinata ad incontrare all'infinito coppie di primi gemelli.

Tutto questo ovviamente se non ci sono errori nei passaggi che ho fatto

[pdercoli]

Il lavoro da me descritto, a conferma della sua coerenza, trova corrispondenza nel prodotto di Eulero. L'ho riformulato sotto questa prospettiva e forse apparirà più comprensibile. Le conclusioni rilevanti sono:
- descrizione elementare della logica con cui si collocano in $ N $ numeri composti e di conseguenza i primi
- i primi gemelli tendono ad essere una porzione di $ N $ pari a $ 1/2 \prod_{"p primo>2"} 1-2/p$ e questo implica vera la congettura dei gemelli.
Lo pubblico perché possa, se errato, essere confutato.


I moduli dei primi $ MP_k $ - La seguente procedura descrive la logica alla base della successione dei numeri primi. Preso un intervallo lungo 2 unità si annulla la posizione pari. Replicando l’intervallo all’infinito, i multipli del 2 cadranno tutti in corrispondenza della posizione annullata e naturalmente $ 1/2 $ di $ N $ non è divisibile per 2.



I successivi primi saranno dispari e non esiste altra sequenza di primi contigui oltre il caso 2 e 3. Chiamo questo “Modulo dei Primi di 2” abbreviato $ MP_2 $ e in generale $ MP_k $ tutti i moduli così ottenuti, dove $ k $ assume i valori di $ 2; 3 $ e ciascun $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ per ogni intero $ n>0 $. Replico $ MP_2 $ per il successivo $ k=3 $. Eliminando il 3 avrò formato $ MP_3 $



Posso verificare che $ 2/6 $ di $ N $ non è divisibile né per 2 né per 3. In futuro qualsiasi altro primo potrà comparire solo con $ p mod 6=5 $ oppure con $ p mod 6=1 $. Una tripletta di primi distanti 2 come $ [3; 5; 7] $ non può più ripresentarsi a causa del 3 e dei suoi multipli. C’è spazio per eventuali coppie di primi gemelli solo se in forma $ [6n-1;6n+1] $. Replico $ MP_3 $ per il successivo $ k=5 $



Eliminando il 5 e tutti i suoi multipli il successivo modulo $ MP_5 $ sarà



I valori fin qui ottenuti coincidono con quelli del reciproco del prodotto di Eulero

$ (1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=8/30 $

Il processo di moltiplicazione e sottrazione è simile ma eseguito direttamente sugli interi positivi e per essere coerente deve ripetersi per tutti i valori $ 6n-1;6n+1 $ sia primi che composti. Quando $ k $ è composto il modulo $ MP_k $ si formerà moltiplicando il precedente senza sottrarre nulla. Il risultato è generalizzabile con il seguente prodotto

$ (1-1/2)(1-1/3) \prod_{n=1}^N ((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $

La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.

Semplificando tutti i fattori composti si ha la conferma dell’equivalenza con

$ \prod_{"p primo"} 1-1/p $

Se non si considera l’ultima posizione ogni $ MP_k $ è palindromo. Con un qualsiasi $ MP_k $ è possibile costruire un “orologio” che fornisce un elementare strumento per la ricerca di nuovi primi. Di seguito le rappresentazioni “ad orologio” di $ MP_5 $ ed $ MP_7 $



Rappresentazione grafica di $ MP_5 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti a multipli del 5 che non hanno fra i loro fattori né 2 né 3, già annullate da $ MP_2 $ e da $ MP_3 $


Rappresentazione grafica di $ MP_7 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti ai composti del 7 che non hanno fra i loro possibili fattori 2, 3 e 5

Tutti i primi maggiori di un qualsiasi valore $ k $, se divisi per la lunghezza del modulo $ MP_k $, hanno come possibile resto esclusivamente un valore non annullato di quel modulo. Inoltre in ogni $ MP_k $ i valori nell’intervallo fra $ k $ e $ k^2 $, se non sono annullati, sono numeri primi. Ogni $ MP_k $ è quindi definito fino a $ k^2 $. Per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ la parte definita è superiore alla lunghezza dei rispettivi moduli, da $ MP_5 $ in poi ne diventa via via una porzione infinitesima. Si rivela così la logica con cui i primi con i loro multipli “occupano” $ N $ lasciando spazio ai primi successivi e ai loro multipli e cosa determini l’apparente irregolarità degli intervalli fra primi.

Si osserva che in $ MP_5 $ possono iniziare una sequenza di primi gemelli 3 posizioni su 30. In $ MP_7 $ sono 15 su 210 e così via. Anche per queste sequenze il risultato è generalizzabile

$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $

La variabile $ x $ in questo caso assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.

Si può dimostrare che questo è vero osservando che nella produttoria ci sono termini fattorizzabili esclusivamente con altri primi $ p>3 $. Ne consegue che tutti i fattori $ 6n±1 $ composti si riconducono alle quattro equazioni diofantee $ ∀ a,b>0 $
- $ 6n-1=(6a-1)(6b+1) $
- $ 6n-1=(6a+1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a-1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a+1)(6b+1) $

Se ne ricava che:
- se $ n=6ab+a-b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab-a+b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a+1 $
- se $ n=6ab-a-b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab+a+b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a+1 $

Se $ n $ non può ricondursi a nessuno dei casi sopra allora $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ sono primi. I valori $ n $ relativi ai $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ multipli di un $ 6a±1 $ hanno congruenza $ -a;+a $ rispetto al modulo del rispettivo $ 6a±1 $:
- $ 6ab-a-b mod 6a-1=-a $
- $ 6ab+a-b mod 6a-1=+a $
- $ 6ab-a+b mod 6a+1=-a $
- $ 6ab+a+b mod 6a+1=+a $

Ne consegue che in un qualsiasi intervallo lungo $ 6a-1 $:
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n-1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n+1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- la differenza fra questi due valori è $ 2a $ oppure, naturalmente, $ 4a-1 $
 
Analogamente avviene per qualunque $ 6a+1 $ quindi:
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n-1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n+1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 2/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ sono tali che nella coppia $ [6n-1;6n+1] $ ci sia un multiplo di $ 6a±1 $

Si dimostra quindi per induzione che $ \prod_{a=1}^N((6a-1-x)/(6a-1))((6a+1-x)/(6a+1)) $ è vera anche per le coppie candidate ad essere primi gemelli (fuori dalla produttoria, per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ , è evidente).
Al primo passo si ha

$ (5-2)/5 $

Al passo successivo il valore precedente sarà replicato 7 volte sopra e sotto quindi

$ ((5-2)*7)/(5*7) $

Sottraendo i valori relativi ai multipli del 7 eccetto quelli comuni anche al 5 si ha

$ ((5-2)*7)/(5*7)-2/7*((5-2)*7)/(5*7) $

Che può essere semplificato

$ ((5-2)*7)/(5*7)-(2*(5-2))/(5*7)⇒((5-2)*(7-2))/(5*7) $

equivalente a

$ (1-2/5)(1-2/7) $

Continuando a moltiplicare numeratore e denominatore per i successivi $ 6a±1 $, a sottrarre $ 2/( 6a±1) $ della parte precedente, e introducendo la variabile $ x $ per discriminare il comportamento fra primi e composti, la produttoria e la formula generale sono rispettate ad ogni passo, sia per i primi che per i primi gemelli:

$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{a=1}^N(1-x/(6a-1))(1-x/(6a+1)) $

Per i primi gemelli si può riscrivere
$ 1/2 \prod_{"p primo>2"} 1-2/p$


Congettura dei numeri primi gemelli - L’infinità dei numeri primi implica che nell’intervallo da $ k $ a $ k^2 $, porzione definita di ciascun modulo $ MP_k $, troveremo sempre almeno una posizione non annullata, equivalente ad un primo reale. L’esistenza anche di una sola di queste posizioni non annullate in infiniti $ MP_k $ garantisce l’esistenza di infiniti primi e viceversa. Inoltre il teorema dei Numeri Primi implica che il numero di posizioni non annullate in questo intervallo crescerà al crescere di $ k $. Se sono verificate le stesse condizioni per i primi gemelli la congettura è vera. Al contrario dovrà esistere un modulo $ MP_k $ oltre il quale non esisteranno più coppie di primi $ 6n-1; 6n+1<k^2 $.
Si è visto che, preso qualunque $ p_n $ arbitrario, esistono infinite coppie di numeri, distanti due unità, che non sono multipli di nessun primo $ p≤p_n $. Per far sì che il reale numero di primi gemelli sia indipendente dal numero di posizioni non annullate nei moduli $ MP_k $ è necessario che in prossimità di $ k^2 $ siano annullate coppie di candidati in misura crescente rispetto a quanto avviene per i primi in generale. Solo in questo modo, da un certo $ MP_k $ in avanti, potremo avere la condizione che tutti i candidati siano sempre anche maggiori di $ k^2 $.
Per creare un $ MP_k $ n-esimo si deve moltiplicare il precedente modulo $ MP_(k_(n-1) ) $ per $ (1-x/k_n ) $ quindi le posizioni annullate dai multipli di $ k_n $ nel modulo $ MP_(k_n ) $ sono al massimo $ x(MP_(k_(n-1))) $. Queste però non possono mai concentrarsi in porzioni specifiche del modulo perché corrispondono allo stesso valore $ k $ e a tutti i valori $ k(6n-1) $ e $ k(6n+1) $ contenuti in $ MP_k $ (quindi minori della lunghezza di $ MP_(k-1) $ per ogni termine $ 6n±1≥k $. Sono quindi sempre ad una certa distanza e distribuite lungo tutto il modulo. Ad esempio in $ MP_7 $ sono annullate le posizioni 7; 49; 77; 91; 119; 133; 161 e 203, vale a dire i multipli del 7 per tutti i valori non annullati nel precedente $ MP_5 $ che sono 1; 7; 11; 13; 17; 19; 23 e 29. Il rapporto fra posizioni annullate per i primi gemelli rispetto alle posizioni annullate per i primi in generale è

$ 2 ( \prod_{"p primo>2"}1-2/p ) / ( \prod_{"p primo>2"}1-1/p ) $

Può essere più chiaro osservare lo sviluppo di questi valori nella tabella che segue



I multipli di $ k $ contenuti in ogni $ MP_k $ sono l’equivalente della lunghezza del modulo precedente. Di questi quelli che vanno ad annullare posizioni ancora attive per i singoli primi sono pari agli attivi del modulo precedente. Per i primi gemelli invece sono il doppio delle coppie attive. Quindi se in $ MP_5 $ i multipli che, annullando i primi, annullano anche coppie utili per i gemelli sono 2 su 2; in $ MP_7 $ saranno 6 su 8 e così via. I multipli dei primi che occupano posizioni aperte ad ospitare coppie di primi gemelli tendono quindi ad essere una parte infinitesima del totale. Inoltre le posizioni annullate non possono concentrarsi mai nella parte iniziale del modulo perché distribuite con sostanziale uniformità. Se ne conclude che “esistenza” e “quantità” dei primi gemelli, al pari di tutti i primi, sono determinate direttamente ed esclusivamente dalle quantità di candidati presenti nei moduli $ MP_k $ che sono esprimibili con prodotti di termini infiniti e questo implica vera la congettura dei numeri primi gemelli.

[pdercoli]

Stime di $ π(n) $ e $ π_2 (n) $ ricavabili da $ MP_k $ - Ogni $ MP_k $ è definito fino a $ k^2 $ e, dato che i risultati parziali della produttoria sono anche la densità della parte occupata dai primi $ p≤k $ in $ N $ e che questi combinandosi si distribuiscono con relativa uniformità, si propongono le seguenti approssimazioni per $ π(n) $ e $ π_2 (n) $:

$ π(p^2)~p^2 \prod_{"p primo"}1-1/p $

$ π_2 (p^2)~1/2 p^2 \prod_{"p primo>2"}1-2/p $

Queste stime, pur peggiori di quelle note, confermano che in entrambi i casi la crescita logaritmica, osservabile empiricamente, è garantita all’infinito dalle regole descritte. Questo è vero anche ignorando la distinzione fra primi e composti e sottraendo sempre 1 e 2 a tutti i $ 6n-1; 6n+1 $ per una stima fortemente in difetto. Di seguito si riportano i grafici per le tabelle dei valori per primi e primi gemelli calcolati per ogni $ MP_k $ fino a $ k=17315 $, corrispondenti ai primi e primi gemelli inferiori $ 2,99*10^8 $. Le ordinate rappresentano il numero di primi e primi gemelli, le ascisse l’ennesimo $ MP_k $ calcolato.



Su scala logaritmica è evidente come $ π(n) $ segua l’andamento della stima allontanandosi sempre più dalla stima in difetto.



Di seguito la tabella comparativa dei valori di $ π(n) $, $ n/(ln⁡(n)) $ e le stime con $ MP_k $ per i primi fino a $ 10^18 $ (per la comparazione sono stati presi i moduli con $ k^2 $ prossimo ad $ n $ quindi per valori molto grandi l’approssimazione è insignificante. Es. $ 10^17 $ è $ MP_316227767 $ e $ 10^18 $ è $ MP_1000000001 $)





Con i primi gemelli aumenta la tendenza della stima fatta con $ MP_k $ a restituire valori in eccesso ma anche la tendenza di $ π2(n) $ a divergere dalla stima in difetto



Su scala logaritmica si ha la conferma che $ π2(n) $ è direttamente determinato dal contenuto di $ MP_k $



Tabella e grafico con i valori a confronto di $ π2(n) $, $ n/(ln^2 (n)) $ e le stime con $ MP_k $ fino a $ 10^18 $






Conclusioni - La posizione e le quantità di numeri primi sono determinate da leggi aritmetiche elementari che possono essere descritte con i moduli dei primi $ MP_k $.
L’organizzazione dei primi rivela un sistema totalmente deterministico e l’apparente imprevedibilità dei numeri primi è data dal solo fatto che il loro “ordine” si manifesta su scale via via infinitamente più grandi di quelle in cui compaiono i primi stessi.
Dal presente studio sui moduli dei primi si ricava che:
1) una qualsiasi sequenza di intervalli fra primi che esiste in un $ MP_k $ , se non viene annullata nei successivi moduli, si ripeterà all’infinito.
2) una sequenza di intervalli fra primi che non esiste in un $ MP_k $ non esiste oppure esiste solo un numero finito di volte per primi inferiori a $ k $.


 
Altre sequenze notevoli oltre i primi gemelli - Si è visto che la densità dei multipli dei $ p>2 $ determina l’esistenza di infiniti primi gemelli. Altro esempio interessante è quello delle sequenze di quadruple di primi. I multipli del 5 ne consentono solo una a partire da $ n mod 30=11 $ . Vengono infatti annullati 4 candidati su 5 che potrebbero iniziare tale serie ed effettivamente i candidati saranno
$ 1/6*\prod_{"p primo>3"})1-4/p $
L’intervallo che può contenere questo tipo di sequenza è doppio rispetto a quello per i gemelli aumentando conseguentemente le possibilità che venga annullato ma anche in questo caso il prodotto è infinito: pur se più rari di primi e gemelli, anche le quadruple saranno in numero infinito. Un esempio di produttoria che invece si annulla è quella per una sestupla come 5; 7; 11; 13; 17; 19. In questo caso in $ MP_5 $ i multipli del 5 sono sufficienti ad eliminare qualsiasi candidato utile per iniziare una serie in quel modulo e di conseguenza in tutto $ N $ quindi

$ 1/6*\prod_{"p primo>3"}1-5/p $

Con $ p=5 $ posso eliminare da $ N $ tutte le combinazioni possibili e il risultato della produttoria è nullo.
Di seguito alcuni esempi di sequenze particolari che non vengono mai annullate:
- coppia di gemelli fra due primi isolati distanziati di 6 (es. 23; 29; 31; 37)

$ 4/210*\prod_{"p primo>7"}1-4/p $

- quadrupla di gemelli fra due primi cugini (es. 7; 11; 13; 17; 19; 23)

$ 1/30*\prod_{"p primo>5"}1-6/p $

- piramide 2-4-6-2-6-4-2 (es. 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43)

$ 2/210*\prod_{"p primo>7"}1-7/p $

Esistono altre sequenze che aumentano in modo irregolare ma che, per le stesse ragioni descritte, sono indefinite e danno di conseguenza origine ad infiniti primi disposti in quelle stesse sequenze.