Teorema di fattorizzazione per i gruppi e AC

[caulacau]

@caulacau Se la proiezione canonica è suriettiva (e lo è), perché non dovrebbe avere un inversa destra?

Qual è l'inversa destra di \(\mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z\)?

[marco2132k]

Se non sto prendendo un abbaglio, questa. Per la famiglia \( \left(\pi^{*}(N)\right)_{N\in{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}} \) indicizzata da \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) esiste una funzione \( c\colon\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\bigcup\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z} \) di scelta (nessun insieme della famiglia è vuoto). L'immagine di una classe di resto \( N \) appartiene quindi alla fibra \( \pi^{*}(N) \): in altre parole, componendo a destra è \( (\pi\circ c)(N)=\pi(\text{un elemento di \( \pi^{*}(N) \)})=N \).

[caulacau]

Puoi trovare un'inversa che sia una funzione, ma non puoi trovarne che siano omomorfismi di gruppo diversi da quello nullo.

Also, cosa significa \(\bigcup \mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z\)? Dove è indicizzata l'unione e in che senso questa unione "fa Z"?

[marco2132k]

Also, cosa significa \( \bigcup \mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z \)? Dove è indicizzata l'unione e in che senso questa unione "fa Z"?

L'idea era di scrivere \( \bigcup_{N\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\pi^{*}(N) \), hai ragione. Che fa \( \mathbb{Z} \).

In effetti ho usato a sproposito la parola "commutare", nel post che mi hai citato. Non mi è necessario trovare un omomorfismo \( G/N\to G \) (con i simboli di op): basta che \( \psi \) lo sia.

non puoi trovar[e omomorfismi \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \)] che siano omomorfismi di gruppo diversi da quello nullo.

Non ci avevo fatto caso, a dire il vero.