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$f$ suriettiva $Leftrightarrow Y\setminus f(T) \subseteq f(X\setminusT)$

MessaggioInviato: 20/08/2019, 22:14
da universo
Siano $X,Y$ insiemi non vuoti e $f:X\toY$ un'applicazione. Si dimostri che $f$ è suriettiva se e solo se $\forall T \subseteq X $ si ha che $Y\setminus f(T) \subseteq f(X\setminusT)$.
Svolgimento
-$\Leftarrow$: sia $\alpha \in f(X\setminusT)$, allora $\ forall \alpha \exists f^{-1}(\alpha) \in X\setminusT$; se $T=\emptyset$ allora $f(X) = Y$ da cui $f$ suriettiva.
-$Rightarrow$: sia $f$ suriettiva e supponiamo per assurdo che non è $Y\setminus f(T) \subseteq f(X\setminusT)$; allora esiste $alpha \in Y\setminusf(T)$ tale che $alpha \notin f(X\setminusT)$ da cui si ha che $f(X) = f(T)$ da cui $f$ non suriettiva: assurdo!

Cosa non va in questa dimostrazione?

Re: $f$ suriettiva $Leftrightarrow Y\setminus f(T) \subseteq f(X\setminusT)$

MessaggioInviato: 20/08/2019, 22:30
da caulacau
E' il duale dell'altro esercizio? Non va che no si capisce cosa hai scritto qui, ad esempio:
$\ a forall \alpha \exists f^{-1}(\alpha) \in X\setminusT$


Da un lato, se \(f\) commuta con la complementazione, allora la funzione indotta \(f_* : 2^X \to 2^Y : U\mapsto fU\) manda \(X\) in \(Y\), perché \(fX = f(X\setminus \varnothing) = Y\setminus f\varnothing = Y\). Questo è sufficiente a dire che $f$ è suriettiva.

D'altra parte, se $f$ è suriettiva, prendi $T\in 2^X$ e un elemento \(t\in Y\setminus fT\); siccome $f$ è suriettiva, esiste un elemento $x$ che fa $t$ se applichi $f$, $fx=t$. Adesso vorresti che $x$ non stesse in $T$. Se lo fa, però...