Esercizi su anelli

Messaggioda giulio0 » 27/08/2019, 15:35

Si consideri l’operazione binaria $∗$ definita in $Z_9$ ponendo, per ogni $a, b ∈ Z_9$,
$a ∗ b = 5(ab − a − b + 3).$
Dando per noto che $∗$ è associativa e commutativa.
(i) Determinare tutti gli elementi $a ∈ Z_9$ tali che $a ∗ 0 = 0.$
(ii) Utilizzando quanto visto al punto precedente, dimostrare che $∗$ ammette elemento neutro,
determinandolo.
(iii) Decidere se $4$ è invertibile in $(Z_9, ∗)$.
(iv) Vero o falso: $U(Z9, ∗) = U(Z9, ·)$? (Qui · indica l’usuale operazione di moltiplicazione in Z9.)
(v) Decidere se $T := {3, 7}$ è o non `e una parte chiusa di $(Z9, ∗)$.

Ciao ragazzi ho svolto tutti gli esercizi e vorrei confrontarmi con voi, sarò breve.

(i) Semplicemente calcolo $a * 0 = 0$ quindi $5(a*0 - a - 0 + 3)$ e trovo che $a = 3$ quindi $3$ è elemento invertibile in $Z_9$?
(ii) Per vedere se ammette elemento neutro calcolo $a * t = t * a = a$ e calcolo solo l'elemento da un lato perché so che l'anello è commutativo. Quindi $a * t = a$ e trovo $5(at - a - t + 3)$ e tutto uguale ad $t = (a - 15 + 5a)/(5a - 5)$?
(iii) 4 è elemento invertibile perché non è un elemento cancellabile in $Z_9$ non essendo multiplo di 3.
(iv) Se ho capito bene mi sta chiedendo se hanno lo stesso significato? Se si, vero.
(v) $3*7$ equivale a scrivere $5(21 - 3 - 7 + 3)$ che è uguale ad $70$ quindi non è parte chiusa in $Z_9$
giulio0
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Re: Esercizi su anelli

Messaggioda Stickelberger » 29/08/2019, 14:48

Potresti anche osservare che l'applicazione $x\mapsto 2x+1$
e' una biiezione $ZZ_9\rightarrow ZZ_9$ che porta la solita
moltiplicazione "$*$" nell'operazione "$∗ $".
Cosi' le cinque domande diventano domande che
riguardano il solito gruppo moltiplicativo $ZZ_9^{\times}$.
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