\[
\omega_A\colon\Bigg\{\begin{aligned}A^{n_\omega} &\to A\\
\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right) &\mapsto \omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)\end{aligned}
\] e chiamo la famiglia \( \left(\omega_A\right)_{\omega\in T} \) struttura di \( T \)-algebra su \( A \).
Voglio provare che se esiste una struttura di \( T \)-algebra sul quoziente \( A/{\ER} \) di \( A \) per una relazione di equivalenza \( {\ER} \), tale che la proiezione canonica \( \pi\colon A\to A/{\ER} \) sia un omomorfismo1, allora tale struttura è unica.
Dimostrazione. Sia \( \colon\left({\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\right)_{\omega\in T} \) una struttura di \( T \)-algebra su \( A/{\ER} \); siano \( \omega\in T \). Allora occorre far vedere che \( \omega_{A/{\ER}}={\omega_{A/{\ER}}}^{\prime} \). Sia \( \left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) \) una \( n_{\omega} \)-upla di classi di \( A/{\ER} \). Abbiamo che \( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva, e
\[
\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = \pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\] In quanto omomorfismo, posso "percorrere il digramma (quello qui sotto) all'indietro", e affermare che
\[
{\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = {\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\circ\pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)=\pi\circ\omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\]\( \square \)
La cosa dovrebbe essere banale, in quanto me la trovo liquidata con "\( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva". Ho provato a svolgere tutti i passaggi per impratichirmi. Come va?
- Ossia tale che
commuti per ogni \( \omega\in T \), dove \( \pi^{n_{\omega}} \) è il prodotto cartesiano della proiezione canonica con se stessa, \( n_{\omega} \) volte; i.e.
\[
\pi^{n_{\omega}}\colon\left(x_1,\dots,x_{n_{\omega}}\right)\mapsto\left(\pi(x_1),\dots,\pi(x_{n_\omega})\right)
\] ↑