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Salve a tutti, a breve dovrò sostenere l'esame di matematica discreta e ho ancora qualche dubbio riguardo le relazioni.. L'esercizio dice:

Sia $J = \{ x in NN:\ x > 11\}$. In $J$ sia definita la seguente relazione ponendo:

$a mathcal(R) b hArr a text( è un numero primo e ) b text( è un numero pari.)$

. Stabilire se è riflessiva
. Stabilire se è antiriflessiva
. Stabilire se è simmetrica
. Stabilire se è asimmetrica
. Stabilire se è transitiva

Ho svolto l'esercizio e ho che non è riflessiva, è antiriflessiva, non è simmetrica e non è asimmetrica.. Il dubbio più grande però è sulla transitività: l'insieme $J$ non ha nessun numero che sia sia primo che pari quindi non dovrebbe rispettare la transitività, ma allo stesso momento presupponendo che esista un numero che rispetti tale relazione la transitività c'è.. Come si ragiona in questi casi? Grazie in anticipo per la risposta..

Suppongo che la risposta dipenda dall'esatta definizione che usi per relazione transitiva. Con la definizione \(\forall a,b,c,\,aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc\) allora è transitiva. Nota che \(A\rightarrow B\) è equivalente a \(B\vee \neg A\), pertanto \(\forall a,b,c,\,aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc\) equivale a \(\forall a,b,c,\, aRc \vee \neg aRb \vee \neg bRc\). Siccome \(b\) non può stare sia a destra che a sinistra della relazione, allora hai che \(\forall a,b,c,\, \neg aRb \vee \neg bRc\) è sempre vera nella tua relazione (rendendo vera l'intera proposizione).

P.S.: Quando scrivi le formule cerca di inserire l'intera formula tra dollari.

Ti ringrazio per la tempestiva risposta.. Ora ho capito sicuramente meglio! Le regole di logica le ho studiate in un altro esame ma non avevo mai pensato di applicarle nelle relazioni, grazie! E comunque ok, cercherò di inserire l'intera formula tra dollari la prossima volta, sorry!

Figurati, sono stato tempestivo perché ho ricevuto la notifica del messaggio (i primi messaggi dei nuovi utenti vanno approvati dai moderatori, ancora un paio di messaggi e dovresti poter postare senza alcun controllo preventivo).

Comunque la logica si usa in ogni corso di matematica. Generalmente però non fai tutti i passaggi che ho fatto io. Insomma semplicemente sai che una implicazione è vera se ciò che si trova a sinistra è sempre falso. Io ho solo voluto dimostrartelo in modo più esplicito. Avrei anche potuto mostrartelo con le tabelle della verità.

Ricordati comunque che ci sono alle volte piccole differenze nelle definizioni.

Sìsì hai perfettamente ragione, io avevo fatto il tuo ragionamento riguardo ciò che si trova a sinistra dell'implicazione ma non ero sicuro di poterlo fare.. Ti ringrazio!

Risposta meno formale.
Una relazione in un insieme è transitiva se, nella sua rappresentazione mediante grafo orientato, per ogni coppia di archi consecutivi $a -> b,\ b -> c$ esiste anche l’arco che unisce “direttamente” il primo ed il terzo nodo, cioè l’arco $a -> c$.
Nel caso in esame, nella tua relazione non esistono coppie di archi consecutive e dunque la relazione è (vacuamente) transitiva.