Delucidazioni su una funzione!

[Blaze]

Ciao a tutti, vorrei domandarvi una cosa in merito a questa funzione.

La traccia dice:

Data la funzione $f: x$ $in$ $NN$ $rarr$ $(x)/(x+1)$ $in$ $QQ$
Stabilire se:
a) è iniettiva
b) è suriettiva
c) è biettiva, nel caso determinare l'inversa
d) esiste un'applicazione $g: x$ $in$ $QQ$ $rarr$ $g(x)$ $in$ $NN$ tale che f o g = id($QQ$)
e) esiste un'applicazione $g: x$ $in$ $QQ$ $rarr$ $g(x)$ $in$ $NN$ tale che g o f = id($NN$)

Ho provato a farla e mi trovo che è iniettiva, ma non suriettiva, e quindi non è biettiva.. Ora non essendo biettiva i punti d ed e hanno altrettanta risposta negativa, o sbaglio?

[otta96]

d) no perché non è suriettiva ;
e) si perché è iniettiva.

[marco2132k]

Espando un attimo: una funzione è iniettiva se e solo se ha inversa sinistra. Però che ogni funzione suriettiva ammetta inversa destra¹ è equivalente all'assioma della scelta. Quindi, se avessi avuto una funzione diversa (suriettiva), avresti potuto rispondere affermativamente assumendo AC. In ogni caso, se non sai cos'è AC e ti è stato proposto questo esercizio, non credo tu debba aver motivo di preoccupartene.

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Note

1. Ovviamente vale anche l'inverso: puoi provare che se \( f\colon S\to T \) ammette inversa destra allora è suriettiva (senza usare choice). ↑

[Blaze]

d) no perché non è suriettiva ;
e) si perché è iniettiva.

Ci sono teoremi a riguardo che dicono questo? Io non ho mai incontrato domande del genere fino ad ora..

[Blaze]

Espando un attimo: una funzione è iniettiva se e solo se ha inversa sinistra. Però che ogni funzione suriettiva ammetta inversa destra¹ è equivalente all'assioma della scelta. Quindi, se avessi avuto una funzione diversa (suriettiva), avresti potuto rispondere affermativamente assumendo AC. In ogni caso, se non sai cos'è AC e ti è stato proposto questo esercizio, non credo tu debba aver motivo di preoccupartene.

No, non so proprio cosa sia AC.. Sapendo le cose minime di matematica discreta come potrei rispondere ai quesiti facilmente ed esaustivamente?

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Note

1. Ovviamente vale anche l'inverso: puoi provare che se \( f\colon S\to T \) ammette inversa destra allora è suriettiva (senza usare choice). ↑

[marco2132k]

Ci sono teoremi a riguardo che dicono questo?

Sì

una funzione è iniettiva se e solo se ha inversa sinistra. [...] ogni funzione suriettiva ammett[e] inversa destra [...] [vale anche l'inverso]

Sapendo le cose minime di matematica discreta come potrei rispondere ai quesiti facilmente ed esaustivamente?

Provando a dimostrare quei risultati, ad esempio c: