Polinomi

[Valerio Capraro]

vi lascio un esecizietto per il week-end:

Sia p primo. dimostrare che il polinomio X^(p-1) + X^(p-2)+ ... + X + 1 è irriducibile su Z.

ciao, ubermensch

[Legolas87]

L'equazione X^(p-1) + X^(p-2)+ ... + X + 1=0 è equivalente a (x^p-1)/(x-1)=0. La seconda equazione ha p radici, che sono le radici p-esime dell'unità. Se p è dispari, l'unica soluzione reale sarebbe 1, che però non è accettabile per le CE. Se p è pari. x+1 Dunque non ha radici reali e, a maggior ragione, non ne ha di intere.Se p è pari. x+1 è già irriducibile di suo.

[Valerio Capraro]

scusa legolas, ma l'irriducibilità non c'entra niente con le radici. ad esempio: (x^2+1)^2 ha radici solo in C eppure è riducibile in Z, in Q,in R e in C. si può dire che se il polinomio ha radici nell'anello in cui lo studiamo allora sicuramente è riducibile; se non ha radici non possiamo concludere nulla a priori.

ciao, ubermensch

[Legolas87]

ah, devo aver scambiato l'irriducibilità con la non scomponibilità. Ma che cos'è l'irriducibilità di preciso?

[Valerio Capraro]

un polinomio F è detto irriducibile su un anello A se ogni sua fattorizzazione è banale, ossia se uno dei due fattori è invertibile in A[x].

ti faccio un esempio; prendi F = 2x + 2; questo polinomio è riducibile in Z[x] in quanto si può scrivere 2(x+1) e nessuno dei due fattori è invertibile su Z[x]; però è irriducibile in Q[x], in quanto in Q c'è 1/2 che è l'inverso di 2.

ciao, ubermensch

[cart]

Sono utili le seguenti considerazioni:
1-Per un polinomio primitivo(mcd di tutti i coefficienti vale 1),l'irriducibilità in Q eqivale all'irriducibilità su Z.
2-Un polinomio p(x)è irrducibile sse p(x-a)(o anche p(x+a))è irriducibile,con a elemento dell'anello in questione.
3-Effettuando nel polinomio di partenza la sostituzione x-->x+1 si perviene ad un nuovo polinomio per il quale si può applicare Eisensten.

[Valerio Capraro]

bravo/a cart!!

ciao, ubermensch