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Salve a tutti, ho una domanda sul piccolo teorema di Fermat.. E la dimostrazione è fatta per induzione ed usando il coefficiente binomiale.. Ho capito tutte le varie parti della dimostrazione tranne una.

Il teorema enuncia:

Sia $p$ un numero $primo,$ allora $AA$ $a$ $in$ $ZZ$ $a^p$ $-=$ $a(mod p)$.

Dopo aver trasformato il teorema in un uguaglianza di classi di equivalenza poi la dimostrazione procede col dire che per p = 2 l'asserto è vero.. Perchè? Non riesco a capire! Grazie a tutti per l'enorme aiuto!

Qual è il tuo dubbio, di preciso?

axpgn ha scritto:Qual è il tuo dubbio, di preciso?

La banalità dell'affermazione: "Per p = 2 l'asserzione è verificata". Non riesco a capirne il motivo..

$a^p-=a\text( mod p)$

Caso $p=2$

$a^2-=a\text( mod 2)$ equivale a dire $a^p-a=kp\ ->\ a^2-a=2k\ ->\ a(a-1)=2k$ ma $a$ e $a-1$ sono interi consecutivi quindi uno dei due è pari perciò il loro prodotto è divisibile per due quindi $k$ è intero per cui la relazione è vera.

axpgn ha scritto:$a^p-=a\text( mod p)$

Caso $p=2$

$a^2-=a\text( mod 2)$ equivale a dire $a^p-a=kp\ ->\ a^2-a=2k\ ->\ a(a-1)=2k$ ma $a$ e $a-1$ sono interi consecutivi quindi uno dei due è pari perciò il loro prodotto è divisibile per due quindi $k$ è intero per cui la relazione è vera.

Ah ecco, ora mi è tutto più chiaro, tutto questo ragionamento era stato tolto per "verificato banalmente" ahah. Ti ringrazio!

In verità, la cosa mi pare ancora più semplice.

Infatti, risulta \(x \equiv y \mod 2 \) se e solo se $x$ ed $y$ sono entrambi pari od entrambi dispari; ed è una proprietà elementare dei quadrati il fatto che la parità di un quadrato è la stessa della base, cioè che $a^2 text( è pari) <=> a text( è pari)$ (ed ovviamente $a^2 text( è dispari) <=> a text( è dispari)$).
Dunque è davvero ovvio che \(a^2 \equiv a \mod 2 \).

gugo82 ha scritto:In verità, la cosa mi pare ancora più semplice.

Infatti, risulta \(x \equiv y \mod 2 \) se e solo se $x$ ed $y$ sono entrambi pari od entrambi dispari; ed è una proprietà elementare dei quadrati il fatto che la parità di un quadrato è la stessa della base, cioè che $a^2 text( è pari) <=> a text( è pari)$ (ed ovviamente $a^2 text( è dispari) <=> a text( è dispari)$).
Dunque è davvero ovvio che \(a^2 \equiv a \mod 2 \).

Ok ti ringrazio