Dato un numero naturale m, dimostrare che se $2^m+1$ è primo allora m è una potenza di 2.

[Kenjii]

Salve a tutti, ho provato a cercare la soluzione a questo problema in post precedenti ma senza risultati.
Ho provato a risolvere l'esercizio utilizzando teoremi che richiedessero nelle ipotesi i numeri primi come ad esempio il piccolo teorema di Fermat (in questo caso ho provato a "risolvere" l'equazione esponenziale, ma era impossibile) oppure negando la tesi, ma nulla sembra funzionare.
Grazie in anticipo per l'aiuto.

Edit: modifica titolo.

[Martino]

$2*5+1=11$.

Intendi forse $2^m+1$?

[Martino]

Suggerimento: il polinomio $X^b+1$ è divisibile per $X+1$ se $b$ è un intero dispari (perché?).

[j18eos]

Per come scritto il titolo, è falso:
\[
31=2\cdot15+1
\]
ed è \(\displaystyle m=15\).

[Kenjii]

Si scusate, intendevo $2^m +1$.

[Alin]

Se puó essere utile
Proof by contrapositive
Partiamo da
$x^((2k+1)) + 1 = (x + 1)(x^( 2k) − x^(2k−1) + · · · − x + 1)$
In particolare $(x+1)$ divide sempre $x^(2k+1) + 1$
Supponiamo che $n$ non é una potenza del $2$ allora
$n=(2k + 1)2^l$ , dove$ k ≥ 1$
Segue che $ 2^n+1=(2^l)^(2k+1)+1$ é divisibile per $2^l+1$
Possiamo concludere che $2^n+1$ non é un primo.

[bub]

Supponiamo che $n$ non é una potenza del $2$ allora
$n=(2k + 1)2^l$ , dove$ k ≥ 1$
Segue che $ 2^n+1=(2^l)^(2k+1)+1$ é divisibile per $2^l+1$
Possiamo concludere che $2^n+1$ non é un primo.

Mi sembra fatto bene (complimenti), c'è solo un piccolo errore di battitura forse...

$2^n+1=(2^(2^l))^(2k+1)+1$ é divisibile per $2^(2^l)+1$