Siano \(n, k \in \mathbb{N} \) fissati. Trovare il numero di soluzioni dell'equazione
\[ x_1 + \ldots + x_k = n \ \ \ \ \ (\star)\]
tale che \( x_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \), per \( i \in \{ 1, \ldots, k \} \)
Soluzione:
Il numero di soluzioni è dato da \( \binom{n+k-1}{k-1} \)
Dimostrazione:
Costruiamo una biiezione tra le soluzioni di \( (\star) \) e i sottoinsiemi di cardinalità \( k-1 \) in \( [n+k-1] \)
\( (x_1, \ldots, x_k) \to \{ x_1+1, x_1+x_2+2, \ldots, x_1 + \ldots + x_{k-1} + k-1 \} \)
Non ho capito diverse cose
1) il motivo per cui vuole costruire una biiezione tra le soluzioni di \( (\star) \) e i sottoinsiemi di cardinalità \( k-1 \) in \( [n+k-1] \), nel senso non ho capito come sceglie la cardinalità degli sottoinsiemi ne ho capito come sceglie la grandezza dell'insieme \( [n+k-1] \).
2) Non ho capito come è fatta questa biiezione, mi sembra che una soluzione è associata ad un sottoinsieme ma non vedo come fa a dire che c'è una biiezione tra il numero di soluzioni e tutti i sottoinsiemi di cardinalità \( k-1 \).
3) Pertanto non vedo come mai questo dimostra che il numero di soluzioni è \( \binom{n+k-1}{k-1} \)