Dimostrazione delle proprietà distributive del calcolo proposizionale

Salve a tutti,

sono reduce da giusto un paio di lezioni di Logica e, date le mie difficoltà nelle dimostrazioni in generale, ho deciso di iniziare a dimostrare alcune delle leggi più semplici prima di passare a proposizioni più complesse, senza però usare le tabelle di verità.

In particolare mi sto concentrando sulle due proprietà distributive:
$p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)$
$p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)$
che vorrei riuscire a dimostrare partendo da altri mattoncini base: commutatività, associatività, idempotenza, unità, doppia negazione, terzo escluso e contraddizione, creando una catena di proposizioni tautologicamente equivalenti grazie al principio di sostituzione. Lascerei, invece, De Morgan in un angolino al momento, che vorrei provare a dimostrare in seguito.

Purtroppo non so proprio che pesci prendere, e devo dire che in rete non ho trovato granché: spesso vengono date come base oppure dimostrate solo con le tabelle di verità. Ad ogni modo questo mi stona, dato che la distributività è semplice da dimostrare sia nell'algebra "normale" che in quella booleana, come anche nella teoria degli insiemi.

Grazie in anticipo

Be', diciamo che ti sei pers* un po' di cose...

[...] devo dire che in rete non ho trovato granché: spesso vengono date come base oppure dimostrate solo con le tabelle di verità. Ad ogni modo questo mi stona, dato che la distributività è semplice da dimostrare sia nell'algebra "normale" che in quella booleana, come anche nella teoria degli insiemi.

Nell'algebra booleana, la distributività è uno degli assiomi se ci fai caso bene. Ancora nell'algebra anulare (degli anelli, quella che dici "normale") la distributività è ancora un assioma. E arriviamo all'insiemistica: la distributività viene eriditata dalla logica, tanto che il calcolo su insiemi può essere ricondotto al calcolo tra proposizioni.
Non consideri le tavole (o tabelle) di verità dimostrazioni? Come penseresti di agire? (Domande serie, ovviamente...)

Prova a ragionare, come fai a poter dimostrare in che modo due operazioni si "mescolano" utilizzando solo le proprietà delle due operazioni prese singolarmente?

@vict85 immagino che tu stia suggerendo di scindere la doppia implicazione, dimostrando di poter implicare la parte a DX dalla SX e viceversa.

@Indrjo Dedej non mi torna che queste proprietà siano assiomi, sicuramente per mia ignoranza. Ed in tal caso mi verrebbe da dire che il suggerimento di @vict85 non ha ragione di esistere. Vi state contraddicendo?

Quello che intendevo dire è che è un assioma e che non puoi dimostrarlo usando li altri assiomi.

Ovviamente puoi dimostrarlo all'interno di assiomatizzazioni differenti, per esempio usando le tabella della verità. Ma non è la stessa cosa.

Similmente, non puoi dimostrare la proprietà distributiva negli anelli usando gli altri assiomi degli anelli.