Combinazione di polinomi a coefficienti in Q

[matths87]

Raga, innanzitutto salve a tutti, sono nuovo nel forum.

Ho un dubbio, spero che voi riusciate ad aiutarmi
Allora, supponiamo di avere due polinomi f(x) e g(x) appartenenti a Q[x] coprimi. Riesco a trovare facilmente due polinomi a(x) e b(x) a coefficienti in Q tali che f(x)a(x)+g(x)b(x)=1. Il mio professore di Algebra, però, vuole sapere anche se esistono due polinomi c(x) e d(x) a coefficienti in Z tali che f(x)c(x)+g(x)d(x)=1.

Ditemi come fare, lunedì ho lo scritto e troverò sicuramente un esercizio di questo tipo.

Grazie

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La risposta e' no, in generale. Infatti, ad esempio, $x+2$ e $x+4$ sono coprimi in $Q[x]$. Tuttavia, se $c(x),d(x)\in ZZ[x]$, certamente non puo' essere che $(x+2)c(x)+(x+4)d(x)=1$, altrimenti esisterebbero $a,b\in ZZ$ tali che $2a+4b=1$

[matths87]

Ti ringrazio per la risposta, ma quello che mi hai detto mi era già noto.

Desideravo conoscere un metodo generale che funzioni per qualsiasi coppia di polinomi coprimi a coefficienti razionali: il nostro professore ci ha detto che bisogna usare le congruenze in Z, ma in che modo?