Credo che la chiave per il conteggio in questione sia la struttura ciclica di una permutazione. Azzardo già la generalizzazione, sulla base degli esempi che riporto dopo. Sia $\sigma \in S_n$; $\sigma$ ha ordine $m$ se e solo se la sua struttura ciclica è del tipo:
$$Cycl(k,n_1,...,n_M,l)=(\mathbf{1},\mathbf{d_1},...,\mathbf{d_M},\mathbf{m})$$
dove:
\begin{alignat*}{1}
&\mathbf{1}=(1,...,1), |\mathbf{1}|=k, 0 \le k \le n-1 \\
&d_i|m, i=1,...,M \\
&\mathbf{d_i}=(d_i,...,d_i), |\mathbf{d_i}|=n_i \ge 0, i=1,...,M \\
&\mathbf{m}=(m,...,m), |\mathbf{m}|=l \ge 1 \\
&k+n_1+...+n_M+l=n \\
\tag {1}
\end{alignat*}
Ad esempio, sono permutazioni di ordine $6$ in $S_12$ le permutazioni di struttura ciclica $(1,1,1,1,1,1,6)$, $(1,1,1,3,6)$, $(3,3,6)$, $(6,6)$, $(1,2,3,6)$, $(2,2,2,6)$, ecc.
Una volta determinate tutte le strutture cicliche del tipo $(1)$, bisogna poi contare la cardinalità della classe di coniugio di ciascuna (due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica). Ad esempio, sono permutazioni di ordine $2$ in $S_4$ tutte e sole le permutazioni coniugate di -ad esempio- $(12)$ (rappresentante della struttura ciclica $(1,1,2)$),
più tutte quelle coniugate di -ad esempio- $(12)(34)$ (rappresentante della struttura ciclica $(2,2)$), che dovrebbe fare in totale $9$. Altre strutture cicliche in linea con $(1)$, per questo caso ($m=2$, $n=4$), non ce ne sono.
Prendi il tutto come contributo al ragionamento, non come risposta certa.
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EDIT. Noto che anche le permutazioni di $S_12$ di struttura ciclica, ad esempio, $(1,1,1,1,1,1,1,2,3)$ hanno ordine $6$. Quindi la "nuova" $(1)$, che identifichi le strutture cicliche di
tutte e sole le permutazioni di $S_n$ di ordine $m$, dovrebbe essere:
$$Cycl(k,n_1,...,n_M,l)=(\mathbf{1},\mathbf{d_1},...,\mathbf{d_M},\mathbf{m})$$
dove:
\begin{alignat*}{1}
&\mathbf{1}=(1,...,1), |\mathbf{1}|=k, 0 \le k \le n-1 \\
&d_i|m, i=1,...,M \\
&\mathbf{d_i}=(d_i,...,d_i), |\mathbf{d_i}|=n_i \ge 0, i=1,...,M \\
&\mathbf{m}=(m,...,m), |\mathbf{m}|=l \ge 0 \\
&k+n_1+...+n_M+l=n \\
\tag {1 bis}
\end{alignat*}
Ultima modifica di
luca69 il 16/10/2019, 10:04, modificato 2 volte in totale.