Costruzione dell'insieme Z

Buongiorno,

Tre giorni fà a lezione abbiamo parlato di come riuscire a costruire l'insieme dei Numeri Interi partendo dall'insieme dei Numeri Naturali.

Io però ho capito poco perché aveva a che fare con le partizioni.

Ora che le ho ri-studiate(mi ero scordato alcuni dettagli infatti), non trovo però online una spiegazione a riguardo (tanto meno sui mio libro di logica), quindi mi stavo chiedendo se qualcuno che conoscesse questa dimostrazione, se me la potesse dimostrare passo passo.

Grazie in anticipo

Qui per esempio

Grazie infinite, mi è stato molto utile!

Ho solo un dubbio, quando applico la proprieta di somma fra due classi d'equivalenza di segno opposto (ad esempio [(0,4)] + [(3,0)] ),
il risultato non è della classica forma [(0, n)] / [(n, 0)], in quel caso basta rinominare il risultato con il suo elemento più piccolo(Nell'esempio la classe d'equivalenza risultante, ha come elemento (0, 1) che sarebbe poi la risposta)?

Grazie

Non ho capito bene cosa intendi dire …
Il risultato di quella operazione ($[(0;4)]+[(3;0)]$) è $[(0+3;4+0)]=[(3;4)]$, ma dato che $[(3;4)]$ rappresenta una classe di equivalenza, qualsiasi elemento della classe può rappresentarla perciò anche $[(0;1)]$

Cordialmente, Alex

La costruzione può essere modificata facendo a meno di classi di equivalenza.
Certo, si perde un po’ di eleganza, ma non ci sono problemi più profondi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Consideriamo l’insieme $Z$ costituito dalle coppie ordinate del tipo $(n,m) in NN^2$ caratterizzate dalla seguente proprietà: $(n,m) in Z$ se e solo se o $n=0$ oppure $m=0$.¹
Quindi in $Z$ ci sono solo le coppie del tipo $(n,0)$ o $(0,m)$.

Su $Z$ definiamo la somma $+: Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) + (n_2,0) &= (n_1 + n_2, 0) \\
(0, m_1) + (0, m_2) &= (0, m_1 + m_2) \\
(n_1, 0) + (0, m_2) &= \begin{cases} (n_1 - m_2, 0) & \text{, se } n_1 \geq m_2 \\ (0, m_2 - n_1) & \text{, se } m_2 > n_1 \end{cases} \\
(0, m_1) + (n_2, 0) &= \begin{cases} (n_2 - m_1, 0) & \text{, se } n_2 \geq m_1 \\ (0, m_1 - n_2) & \text{, se } m_1 > n_2 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il prodotto $* : Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) \cdot (n_2,0) &= (n_1n_2, 0) \\
(0, m_1) \cdot (0, m_2) &= (m_1 m_2, 0) \\
(n_1,0) \cdot (0,m_2) &= (0, n_1m_2) \\
(0, m_1) \cdot (n_2, 0) &= (0, m_1 n_2)
\end{split}
\]
(in cui le operazioni ai secondi membri sono quelle già definite in $NN$).
Con qualche conto si verifica che $+$ e $*$ godono delle usuali proprietà (commutativa, associativa, distributiva di $*$ rispetto a $+$), che $+$ ha come elemento neutro $(0,0)$, che ogni coppia $(n,0)$ [risp. $(0,m)$] ha come opposto la coppia $(0,n)$ [risp. $(m,0)$] e che $*$ ha come elemento neutro $(1,0)$.
Quindi $(Z,+,*)$ è un anello commutativo unitario; inoltre, si prova che vale la Legge di Annullamento del Prodotto, sicché $(Z,+,*)$ è un dominio d’integrità unitario.
Questa struttura viene denotata con $ZZ$ ed è detta anello degli interi.

Con queste definizioni si dimostra che $ZZ$ contiene una sottostruttura isomorfa a $(NN, +,*)$: infatti, l’applicazione $i:NN -> Z$ che assegna $i(n) := (n,0)$ è additiva (i.e., $i(n_1+n_2) = i(n_1) + i(n_2)$) e moltiplicativa (cioè, $i(n_1n_2) = i(n_1)*i(n_2)$).
Quindi possiamo ritenere che $NN sub ZZ$ ed identificare ogni coppia del tipo $(n,0)$ semplicemente con $n$ ($in NN$); in particolare $0$ ed $1$ saranno usati per denotare le coppie $(0,0)$ ed $(1,0)$.
Invece, le coppie del tipo $(0,m)$ (con $m >=1$) si denotano col simbolo $-m$ (leggi: “meno emme”); in particolare, la coppia $(0,1)$, opposta di $1$, si denota con $-1$ (leggi: “meno uno”).
Dato che (per la definizione della moltiplicazione) risulta $(0,m) = (0,1)*(m,0)$, possiamo affermare che $-m = (-1)*m$ e, visto che $(m,0) + (0,m) = (0,0)$, possiamo affermare che $-m$ è l’opposto di $m$ e, viceversa, che $m$ è l’opposto di $-m$, ossia che $-(-m) = m$.

In $ZZ$ possiamo poi definire la sottrazione mediante “somma con l’opposto”, i.e. possiamo porre $b - a := b + (-a)$; in tal modo, è semplice provare che $b - a$ è l’unico elemento di $ZZ$ che sommato ad $a$ fornisce $b$ e che la sottrazione definita in $ZZ$ è un’estensione di quella definita su $NN$ (quando $b>= a$).

Inoltre, su $ZZ$ si può mettere la relazione $<=$ ponendo per definizione:
\[
a \leq b\ \stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\ b - a \in \mathbb{N}
\]
e si dimostra che essa è una relazione d’ordine (riflessiva, antisimmetrica e transitiva) totale, compatibile con le operazioni (nel senso che $a<= b => a+c <= b+c$ e $a<= b ^^ 0<= c => a*c <= b*c$), rispetto alla quale $NN - \{0\}$ coincide con l’insieme dei numeri positivi di $(ZZ, <=)$.

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Note

1. Come quasi tutti gli analisti considero $0 in NN$. ↑

Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.
Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato
Buona Giornata.

Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.

Non più complessa: si tratta solo di distinguere un po’ di casi.

Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato

Prego!