Il più generale prodotto in \( \mathbb R^2 \) commutativo e distributivo rispetto alla somma componente per componente

Ciao. Leggo che

[Se si vuole un prodotto in \( \mathbb{R}^2 \) che abbia le proprietà di quello di \( \mathbb R\) (\( \left(\mathbb R,{\cdot}\right) \) è un gruppo abeliano) e che rispetti la norma \( \lVert(a,b)\rVert=\left(a^2+b^2\right)^{1/2} \)] ci si convince rapidamente che deve mescolare le componenti dei fattori.

Perché?

E inoltre

Si può dimostrare che il più generale prodotto in \( \mathbb R^2 \) commutativo e distributivo rispetto alla somma componente per componente è del tipo \[
(a,b)\cdot (c,d)=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd,\alpha^\prime ac+\beta^\prime(ad+bc)+\gamma^\prime bd)
\]

Mi dareste qualche suggerimento? Poi, che significa "il più generale prodotto"?

Ciao. Questo non risponde esattamente alla tua domanda, ma dà un'idea della ricerca di un prodotto in $\mathbb{R}^2$ "il più generale possibile" compatibilmente con certe richieste (nella fattispecie, lì erano: distributività rispetto all'addizione, bilinearità, $1$ elemento neutro moltiplicativo, legge di annullamento del prodotto).

Per il secondo punto. In generale, con la somma componente per componente (e la definizione di un "prodotto per scalari"), ogni elemento di $\mathbb{R}^2$ si può scrivere in modo univoco come combinazione lineare di $1=(1,0)$ e $i=(0,1)$, $z=a1+bi$. Ora, se la moltiplicazione "$\cdot$" che stiamo costruendo è:

1. distributiva rispetto a questa addizione;
2. commutativa,

allora, detti $z,w \in (\mathbb{R}^2,+,\cdot)$, si ha:

\begin{alignat*}{1}
z\cdot w &= (a1+bi)\cdot(c1+di) \\
&=ac(1\cdot 1)+(ad+bc)(1\cdot i)+bd(i\cdot i) \\
\tag 1
\end{alignat*}
Per la chiusura della moltiplicazione, i tre prodotti si possono esprimere in tutta generalità come:

\begin{alignat*}{1}
&1\cdot 1=\alpha1+\alpha'i \\
&1\cdot i=\beta1+\beta'i \\
&i\cdot i=\gamma1+\gamma'i \\
\tag 2
\end{alignat*}
Sostituendo $(2)$ in $(1)$:

\begin{alignat*}{1}
z\cdot w &= ac(\alpha1+\alpha'i)+(ad+bc)(\beta1+\beta'i)+bd(\gamma1+\gamma'i) \\
&=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd)1+(\alpha' ac+\beta'(ad+bc)+\gamma' bd)i \\
&=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd,\alpha' ac+\beta'(ad+bc)+\gamma' bd) \\
\tag 3
\end{alignat*}

(Una curiosità: possiamo cominciare a perdere di generalità richiedendo che $1$ sia elemento neutro per questa moltiplicazione; allora, da $(2)$ segue: $\alpha=1$, $\alpha'=0$, $\beta=0$ e $\beta'=1$; con la moltplicazione che ne discende, possiamo richiedere in aggiunta che valga la legge di annullamento del prodotto; questo porta verso il contenuto del post che ti ho linkato nella risposta precedente. Ciao)

Grazie mille. Ora sono un po' incasinato, ma appena avrò un attimo mi leggerò tutto per bene!