estensione di campi(esercizio)
Inviato: 14/10/2019, 22:47Ciao!
ho il seguenti due esercizi dimostrativi sulla teoria dei campi
1. sia $ksubsetF$ una estensione di campi e sia $a in Fsetminusk$ un elemento tale che $[k(a):k]$ è dispari; dimostrare che $k(a)=k(a^2)$
2. sia $f(x)=x^p-x-1 in ZZ_p[x]$
- dimostrare che $f(x)$ è irriducibile su $ZZ_p$
- dimostrare che l'estensione formale $ZZ_p(xi)$ è il campo di spezzamento di $f(x)$
primo
secondo(non riesco a concludere)
ho il seguenti due esercizi dimostrativi sulla teoria dei campi
1. sia $ksubsetF$ una estensione di campi e sia $a in Fsetminusk$ un elemento tale che $[k(a):k]$ è dispari; dimostrare che $k(a)=k(a^2)$
2. sia $f(x)=x^p-x-1 in ZZ_p[x]$
- dimostrare che $f(x)$ è irriducibile su $ZZ_p$
- dimostrare che l'estensione formale $ZZ_p(xi)$ è il campo di spezzamento di $f(x)$
primo
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sicuramente $ksubsetk(a^2)subsetk(a)$
supponiamo per assurdo che $k(a)nek(a^2) => a notin k(a^2)$
il polinomio $p(x)=x^2-a^2 in k(a^2)[x]$ è irriducibile in quanto le radici $-a,a$ non ci stanno
quindi $k(a^2)(a)=k(a^2,a)=k(a)$ è una estensione di grado due di $k(a^2)$
il che è assurdo
supponiamo per assurdo che $k(a)nek(a^2) => a notin k(a^2)$
il polinomio $p(x)=x^2-a^2 in k(a^2)[x]$ è irriducibile in quanto le radici $-a,a$ non ci stanno
quindi $k(a^2)(a)=k(a^2,a)=k(a)$ è una estensione di grado due di $k(a^2)$
dispari$=[k(a):k]=[k(a):k(a^2)]*[k(a^2):k]=2*[k(a^2):k]=$pari
il che è assurdo
secondo(non riesco a concludere)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
per prima cosa mostro che è irriducibile e poi che è separabile
se $x^p-x-1=q(x)k(x)$ allora derivando $-1=px^(p-1)-1=q'(x)k(x)+q(x)k'(x)$
passando ai gradi
allo stesso modo se $(x-xi)^m | f(x) => x^p-x-1=(x-xi)^mq(x)$ supponendo che sia $m>1$
derivando $-1=m(x-xi)^(m-1)q(x)+(x-xi)^m q'(x)$
passando ai gradi si ottiene che
quindi deve essere $m=1$ ovvero sul suo campo di spezzamento ha tutte le radici distinte ossia è un polinomio separabile.
Ora non so come giustificare che $ZZ_p(xi)$ è il campo di spezzamento
se $x^p-x-1=q(x)k(x)$ allora derivando $-1=px^(p-1)-1=q'(x)k(x)+q(x)k'(x)$
passando ai gradi
$0=partialq'+partialk'+underbrace(partialq+partialk)_(p)geqp>1$
allo stesso modo se $(x-xi)^m | f(x) => x^p-x-1=(x-xi)^mq(x)$ supponendo che sia $m>1$
derivando $-1=m(x-xi)^(m-1)q(x)+(x-xi)^m q'(x)$
passando ai gradi si ottiene che
$0geqm-1+partialq=p-1>0$
quindi deve essere $m=1$ ovvero sul suo campo di spezzamento ha tutte le radici distinte ossia è un polinomio separabile.
Ora non so come giustificare che $ZZ_p(xi)$ è il campo di spezzamento
