Relazione di equivalenza

[Alin]

Sia $N$ l'insieme dei numeri naturali, provare che  $ AA (m,n), (r,s) in NxN$ la relazione $E$ definita da $(m,n)E(r,s)$ $ hArr$
$m+3n=r+3s$ é una relazione di equivalenza.


La relazione é riflessiva:
$(m,n) in N x N$
$ rarr(m+3n)=(3n+m)$  e quindi  $(m,n)E(n,m)$

La relazione é simmetrica:
   $(m,n)E(r,s)$ ,   $(m,n),(r,s) in N x N $

$ rarr m+3n=r+3s$
$rarr r+3s= m+3n$

$rarr 3s+r=3n+m$
$rarr (r,s)E(m,n)$

La relazione é transitiva:

$(m,n)E(r,s)$  

$rarr m+3n=r+3s$
$ rarr m - r = 3s-3n$
Ora se
$(r,s)E(t,u)$

$rarr r+3s= t +3u$
$rarr r-t=3u-3s$
$ rarr m-t= 3u-3n$
$ rarr (m+3n)=(t+3u)$
$rarr (m,n)E(t,u)$
Si tratta dunque di una relazione di equivalenza
Ho provato a risolvere l'esercizio, volevo solo avere una conferma ed eventualmente dei suggerimenti per migliorare. Grazie sempre

[Alin]

Qualcuno mi puó dire se ho fatto bene? Grazie

[gugo82]

Sicuro di aver verificato la riflessività?

[Alin]

Intanto grazie gugo82 per avermi dedicato del tempo.
Intendi che avrei dovuto scrivere

$AA(m,n)∈NxN$
$(m+3n)=(m+3n)$ e quindi $ (m,n)E(m,n)$

[gugo82]

Già.

Il resto pare fatto bene.

[Alin]

Dovrebbe essere esatto.
L'esercizio continua chiedendo di dimostrare che se $m_1 !=m_2 $ allora
si ha che [ (0, $n_1$) ] _E$ !=$ [(0, $n_2$)]_E
e poi chiede di elencare gli elementi di
[ (4, $4$) ]
Qui sinceramente non capisco cosa si intende.

[ghira]

Quali elementi sono equivalenti a (4,4)?

[Alin]

Quali elementi sono equivalenti a$ (4,4)$?
Penso tutti quelli tali che $(m,3n)=16$:
$ (16,0)$
$ (13,1)$
$ (10,2)$
$ (7,3)$
$ (4,4)$
$ (1,5)$

[ghira]

Penso tutti quelli tali che $(m,3n)=16$:

Beh $m+3n=16$, vuoi dire.

[Alin]

Si : $(m+3n)=16$
Un dubbio mi resta: con $m_1 != m_2$ allora $ [ (0, $n_1$) ] _E != [(0, $n_2$)]_E$ cosa si vuole intendere.
Grazie