Teorema di Ruffini - Abel

[francicko]

Cosa afferma di preciso tale teorema?

[Martino]

Afferma che l'equazione polinomiale generica di grado $n ge 5$

(*) $a_0+a_1X+...+a_nX^n = 0$

non ammette formula risolutiva, dove per "formula risolutiva" si intende una formula che esprime le radici di (*) a partire dal campo generato dai suoi coefficienti, cioè $QQ(a_0,a_1,...,a_n)$, tramite operazioni di campo (somme, sottrazioni, prodotti, divisioni per elementi non nulli) e estrazioni di radici, dove per "estrazione di radice" si intende soluzione di un'equazione del tipo $X^m-a=0$.

Detto così è comunque impreciso, quindi ti scrivo la versione precisa.

Considera $n$ variabili algebricamente indipendenti $a_0,a_1,...,a_n$ su $QQ$, e sia $K=QQ(a_0,a_1,...,a_n)$. Sia $f(X) = a_0+a_1X+...+a_nX^n in K[X]$ e sia $M$ un campo di spezzamento di $f(X)$ su $K$, cioè un sovracampo di $K$ che contiene tutte le radici di $f(X)$, cioè un sovracampo $M$ di $K$ tale che $f(X)$ si fattorizza in fattori lineari in $K[X]$, e minimale con questa proprietà (si dimostra che $M$ esiste ed è unico a meno di $K$-isomorfismi, cioè isomorfismi che ristretti a $K$ sono l'identità di $K$). Il teorema di Abel-Ruffini dice che non esiste nessuna estensione radicale di $K$ che contiene $M$.

Bene, ora devo però definire cosa sia un'estensione radicale di $K$. Un'estensione $F//K$ di $K$ (cioè $F$ è un sovracampo di $K$) si dice radicale se esiste una sequenza di campi

(**) $K=K_0 le K_1 le ... le K_r = F$

tale che per ogni $i=0,...,r-1$ abbiamo $K_{i+1} = K_i(t_i)$ (cioè $K_{i+1}$ è il campo generato da $K_i$ e da $t_i$) dove $t_i$ è una soluzione di un'equazione $X^{n_i}-a_i=0$ dove $a_i in K_i$ e $n_i$ è un intero positivo.

L'idea di "estensione radicale" è esattamente formalizzare il fatto citato sopra dell' "estrazione di radici". Per esempio le soluzioni di $X^4-10X^2+20=0$ sono $pm sqrt(5 pm sqrt(5))$, come vedi qui abbiamo fatto due estrazioni di radici, una dopo l'altra, ed è concesso estrarre radici di elementi che hai già potuto ottenere in precedenza per mezzo di operazioni di campo ed estrazioni di radici. E così via, quando scrivi una formula risolutiva nella nostra intuizione è concesso estrarre radici un qualsiasi numero finito di volte (ed è per questo che definiamo le estensioni radicali nel modo citato sopra).

Come ripeto, il teorema di Abel-Ruffini afferma che dato $M$ um campo di spezzamento di $f(X)$ su $K=QQ(a_0,a_1,...a_n)$ non esiste nessuna estensione radicale $F$ di $K$ tale che $M le F$, e questo implica che le radici di $f(X)$ non stanno in nessuna estensione radicale di $K$, e quindi che non possono essere scritte a partire da $K$ (cioè dal "campo dei coefficienti") per mezzo di operazioni di campo ed estrazioni di radici.

In generale un'equazione polinomiale $g(X)=0$ su $K$ si dice "risolubile per radicali" se esiste un campo di spezzamento $M$ di $g(X)$ su $K$ che è contenuto in un'estensione radicale di $K$.

L'idea per dimostrare il teorema è mostrare che il gruppo di Galois di $f(X)$ su $K$ (cioè il gruppo dei $K$-automorfismi di $M$, che sono gli automorfismi di $M$ che ristretti a $K$ sono l'identità di $K$) è isomorfo al gruppo simmetrico $S_n$. Tale gruppo è non risolubile per $n ge 5$ ed è risolubile per $n le 4$. La teoria di Galois afferma che un'equazione polinomiale $g(X)=0$ è risolubile per radicali su un campo $K$ se e solo se il gruppo di Galois di un campo di spezzamento di $g(X)$ su $K$ è risolubile (l'idea per dimostrare l'implicazione \( \displaystyle \Rightarrow \) è applicare le corrispondenze di Galois a (**)). Il teorema di Abel-Ruffini segue quindi da questo.

Questo non significa che un'equazione di grado $ge 5$ non possa essere risolubile per radicali, per esempio è facile risolvere l'equazione $X^5=32$, una sua soluzione è $2$, le altre sono ottenute moltiplicando per le radici quinte dell'unità. Il gruppo di Galois di $X^5-2$ non è $S_5$, è un gruppo risolubile di ordine $20$.

Inoltre "risolubile per radicali" è ben diverso da "risolubile". Per spiegare questo punto ti darò un esempio. Si può dimostrare che $X^5-4X+2$ ha gruppo di Galois $S_5$ su $QQ$, quindi non è risolubile per radicali su $QQ$, in altre parole le sue soluzioni non si possono esprimere a partire da $QQ$ tramite operazioni di campo ed estrazioni di radici. Tuttavia sappiamo che tali soluzioni esistono, nel campo dei numeri complessi per esempio (che è algebricamente chiuso!). Queste soluzioni esistono ma per scriverle non basta usare operazioni di campo ed estrazioni di radici, bisogna usare qualcos'altro.

NB: tutte le asserzioni vanno fatte specificando su quale campo stai lavorando, altrimenti il tutto perde di senso. Per esempio è chiaro che se un campo $E$ contiene già tutte le radici di $f(X)$ allora il gruppo di Galois di $f(X)$ su $E$ (cioè di un suo campo di spezzamento su $E$) è banale (cioè è ${1}$) essendo $E$ già campo di spezzamento di $f(X)$ su $E$.

PS: leggi anche qui.

[francicko]

Scusa ma ancora non ho le idee chiare;
Il campo che consideravano Ruffini ed Abel, se non sbaglio era quello dei razionali $Q$, il teorema afferma che se si considera un generico polinomio di grado $n$ a coefficienti razionali, quindi $a_0+(a_1) x+(a_2) x^2+...+(a_n) x^n$ con $ n>=$ $5$, allora non esiste una formula che coinvolga i coefficienti con operazioni del campo ed estrazioni di radici che esprima le radici del polinomio, sbaglio?
Essendo che parliamo di polinomi generico i coefficienti sono devono essere diversi da $0$,
in quanto se si considerano casi particolari come il semplice polinomio ciclotomico $x^5-1$ il teorema risulta fallace, in quanto le radici del polinomio sono le radici ennesime dell'unità, e si possono considerare altri infiniti esempi, in questo ci viene in aiuto il teorema di Galois che stabilisce un criterio di risolubilita associando al polinomio un Gruppo detto appunto di Galois in grado di caratterizzarlo;
Adesso io mi chiedo supponiamo di avere il caso particolare in cui il polinomio generico a coefficienti razionali abbia tutte le sue radici nel Campo stesso dei razionali, cosa succede?
Nel caso ad esempio di un polinomio di secondo grado se le radici sono razionali il $delta$ sarà un quadrato perfetto in $Q$ e quindi la nota formula produrrà soluzioni soluzioni razionali, ma nel caso $n>=5$ continueremo nell'impossibilità di trovare un espressione che faccia uso solo delle operazioni di campo ed estrazioni di radice che dia le radici del polinomio, non capisco perché dici che se le radici appartengono a $Q$ allora il teorema non ha più senso.

[francicko]

In definitiva un polinomio con radici razionali è sempre risolubile per radicali?

[Martino]

Essendo che parliamo di polinomi generico i coefficienti sono devono essere diversi da $0$

Vedi, qui stai imponendo ipotesi sui coefficienti che seguono dagli infiniti esempi in cui il teorema sarebbe falso, per esempio $X^n-1$. Come si applica il teorema di Abel-Ruffini al polinomio $X^n-1$? Risposta: non si applica! Perché il teorema di Abel-Ruffini tratta di un polinomio $a_0+a_1X+...+a_nX^n=0$ dove i coefficienti $a_i$ sono algebricamente indipendenti su $QQ$. E i coefficienti di $X^n-1$ non sono algebricamente indipendenti su $QQ$.

il semplice polinomio ciclotomico $x^5-1$

I polinomi $X^n-1$ non sono detti polinomi ciclotomici (giusto per la precisione).

In definitiva un polinomio con radici razionali è sempre risolubile per radicali?

Sì. Vedi qui sotto.

Adesso io mi chiedo supponiamo di avere il caso particolare in cui il polinomio generico a coefficienti razionali abbia tutte le sue radici nel Campo stesso dei razionali, cosa succede?

Per la precisione, il "polinomio generico" non ha radici razionali. Immagino che tu voglia dire "prendiamo un polinomio con radici tutte razionali". Cosa succede? Succede che è risolubile per radicali perché tutte le radici stanno in $QQ$. Prova a riguardare la definizione che ho riportato sopra di equazione risolubile per radicali. Basta scegliere $F=QQ$.

Ho capito la contraddizione in cui ti trovi. Tu dici: "Abel, Ruffini e Galois lavoravano con coefficienti razionali. Quindi i coefficienti $a_i$ di cui sopra sono razionali. Ma allora non possono essere "qualsiasi" a causa degli ovvi controesempi ($X^5-1$, eccetera). Quindi quando vale il teorema e quando non vale?"

Risposta: il teorema, così come è enunciato, vale sempre. Il cortocircuito in cui ti trovi sta nel fatto che consideri i coefficienti come numeri razionali. Nessuno ha mai detto che i coefficienti sono razionali, e sarebbe sbagliato dire ciò. La corretta formalizzazione impone che i coefficienti $a_i$ siano variabili algebricamente indipendenti.

Se abbiamo un'equazione $a_0+a_1X+...+a_nX^n=0$ coi coefficienti $a_i$ razionali allora il teorema di Abel-Ruffini non vale (non si può nemmeno applicare!) per questa equazione in generale, appunto perché ci sono casi in cui non vale (per esempio $X^n-1=0$). Quindi il teorema è falso? No, proprio perché nell'enunciato del teorema gli $a_i$ non sono razionali, sono variabili algebricamente indipendenti.

Mi spiego?

Sarebbe un lavoro enormemente più grande discutere la risolubilità per radicali di $a_0+a_1X+...+a_nX^n=0$ in funzione dei suoi coefficienti $a_i$ presi razionali. Questo è un problema difficile. Corrisponderebbe in pratica ad un algoritmo che prende in input un polinomio e mi dice in output se il suo gruppo di Galois è risolubile oppure no.

Per riassumere:

Se i coefficienti $a_0,...,a_n$ sono razionali allora la risolubilità per radicali di $a_0+a_1X+...+a_nX^n=0$ su $QQ$ dipende dai coefficienti $a_0,...,a_n$.

Se i coefficienti $a_0,...,a_n$ sono algebricamente indipendenti su $QQ$ allora l'equazione $a_0+a_1X+...+a_nX^n=0$ è risolubile per radicali su $QQ(a_0,...,a_n)$ se e solo se $n le 4$.

L'idea intuitiva dietro alla locuzione "algebricamente indipendenti" è la parola "qualsiasi". Cioè noi vogliamo discutere la risolubilità per radicali di una qualsiasi equazione di grado $n$ senza preoccuparci di discutere eventuali relazioni algebriche tra i coefficienti. Se introduciamo la discussione di tali relazioni algebriche tra i coefficienti il problema di discutere la risolubilità per radicali diventa enormemente più difficile.

[francicko]

Grazie tante per le risposte e la pazienza!
Quindi l'essere i coefficienti algebricamente indipendenti é una condizione imprescindibile, in quanto diversamente
il teorema potrebbe risultare fallace in casi particolari come mi hai già detto in precedenza;
Però mi chiedo come.mai nel teorema di Abel--Ruffini (WIKIPEDIA) non si fa menzione almeno esplicitamente di questa condizione?
Sia Abel che Ruffini avevano già formalizzato questa condizione di indipendenza algebrica?

[Martino]

Purtroppo Wikipedia in italiano è praticamente nullo per quanto riguarda questioni di matematica. Per peggiorare le cose, in questo caso wiki in inglese è anche lui quasi nullo ma almeno argomenta nel caso $n=5$ (clic). Come vedi il wiki inglese scrive "consider five indeterminates $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$, $y_5$". Qui la parola "indeterminate" (cioè "indeterminata" in italiano) è un modo (un po' criptico, ma lo usano tutti) di dire appunto che si tratta di variabili algebricamente indipendenti. E questo si vede essere equivalente a dire che i coefficienti del polinomio $(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)(x-y_4)(x-y_5)$ sono algebricamente indipendenti.

Per capire il teorema ti consiglio fortemente di leggerti uno dei classici libri sull'algebra di base, come per esempio il "Basic Algebra 1" di Nathan Jacobson. Ti riporto qui l'inizio della discussione del teorema di Abel-Ruffini. Dice "by a general equation we mean one whose coefficients are distinct indeterminates". E' un modo equivalente di dire che i coefficienti sono algebricamente indipendenti. Questo concetto si può esprimere in vari modi, è la sostanza che conta.

[GBX1]

Buongiorno a tutti,
in questo periodo sto studiando la teoria di Galois sul testo [1], e quindi mi sono imbattuto nel classico teorema di Ruffini-Abel. Non sapevo che tale teorema richiedesse che i coefficienti di un polinomio di grado $ >= 5 $ debbano essere algebricamente indipendenti (né potevo saperlo, visto che in [1] non c'è scritto, e la stessa nozione di indipendenza algebrica non è trattata in questo testo). Ho controllato su altri testi in mio possesso, cioè [2] e [3], e lì effettivamente il requisito compare: [2] scrive: <<L'equazione generale del grado n,...,nella quale i coefficienti $ a_0,a_1,...,a_n $ siano altrettante variabili indipendenti, ecc.>> dove non si specifica che tipo di indipendenza sia richiesta. Invece [3] è più preciso: <<In caratteristica zero, il polinomio generale di grado $ n>= 5 $ non è risolubile per radicali>> (Teorema 9.2.10 pag. 309), laddove il polinomio generale di grado n è definito come:
$ G(X,T)=(T-X_1)(T-X_2)...(T-X_n)in A[X,T] $ (2.7.2 pag. 86), dove A è un dominio e $ X_1,...,X_n, T $ sono indeterminate indipendenti su A (ibidem). Non è specificato il tipo di indipendenza richiesta, ma poco più avanti si dice che, sviluppando il prodotto sopra e ordinando in funzione delle potenze di T, i coefficienti sono i polinomi simmetrici elementari in $ X_1,...,X_n $ , i quali a loro volta sono algebricamente indipendenti su A. Così, con un lavoro di paziente ricerca degno di un filologo che spulci antichi manoscritti nella biblioteca di un' abbazia medievale, sono finalmente arrivato a trovare che il teorema di Ruffini-Abel richiede che i coefficienti del polinomio, cui esso si applica, devono essere algebricamente indipendenti. Già, ma che cosa vuol dire, concretamente, tutto ciò? La definizione di indipendenza algebrica si trova ancora in [3]:
<<Se $ Fsube K $ è un ampliamento di campi, gli elementi $ alpha _1,...,alpha _n in K $ si dicono algebricamente indipendenti su $ F $ se $ f(alpha _1,....,alpha _n)!= 0 $ per ogni polinomio non nullo $ f(X_1,...,X_n) $ a coefficienti in $ F $ >> (6.1.1 pag. 215). Lo stesso testo mette in guardia sul fatto che l'indipendenza algebrica è una condizione più forte dell'indipendenza lineare, e fa l'esempio di \( \surd 2 \) e \( \surd 3 \) , che sono linearmente indipendenti su $ QQ $ , ma non algebricamente indipendenti.
Dopo tutto questo bello sproloquio vengo alla domanda. Dato un polinomio di grado $ n>= 5 $ , e volendo verificare se ad esso si applica il teorema di Ruffini-Abel, come si fa a controllare che i coefficienti siano algebricamente indipendenti, visto che per farlo dovrei considerare infiniti polinomi (cfr. la def. di indipendenza algebrica)?
Per esempio, al polinomio $ f(x)=x^5+3x^4-2x^3-6x^2+x+4 $ con coefficienti in $ QQ $ si può applicare il teorema suddetto? E se i coefficienti sono considerati in $ RR $ cambia qualcosa?
Grazie per l'attenzione
RIFERIMENTI
[1] G. M. Piacentini Cattaneo - Algebra - Decibel Zanichelli, Padova, 1996
[2]L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di) - Enciclopedia delle Matematiche Elementari - Vol. I Parte II - Cap. XIV. Proprietà generali delle equazioni algebriche di Onorato Nicoletti - Hoepli, Milano, 1932
[3]Stefania Gabelli - Teoria delle equazioni e teoria di Galois - Springer-Verlag Italia, Milano, 2008

[hydro]

Dato un polinomio di grado $ n>= 5 $ , e volendo verificare se ad esso si applica il teorema di Ruffini-Abel, come si fa a controllare che i coefficienti siano algebricamente indipendenti, visto che per farlo dovrei considerare infiniti polinomi (cfr. la def. di indipendenza algebrica)?

Penso che in generale sia una domanda piuttosto complicata. Non penso che ti capiterà di doverlo veramente fare negli esercizi. Ad ogni modo ad esempio se i coefficienti sono tutti algebrici allora in particolare sono algebricamente dipendenti.

Per esempio, al polinomio $ f(x)=x^5+3x^4-2x^3-6x^2+x+4 $ con coefficienti in $ QQ $ si può applicare il teorema suddetto?

No, questi coefficienti non sono algebricamente indipendenti quindi non si può applicare.

E se i coefficienti sono considerati in $ RR $ cambia qualcosa?

Non si capisce cosa voglia dire questa domanda.

[Martino]

In pratica stai chiedendo la cosa seguente: se ho un polinomio $P(x) in QQ[x]$, come faccio a capire se è risolubile per radicali? Questa è una domanda molto difficile, oserei dire che è un problema aperto. Dovresti costruire un algoritmo che decide (in output) la risolubilità del gruppo di Galois dati (in input) i coefficienti del polinomio.

Vorresti applicare il teorema di Abel-Ruffini a un polinomio specifico? Questo è equivalente a trovare dei coefficienti algebricamente indipendenti e applicare il teorema. Non ha un grande significato. L'importanza del teorema riguarda l'esistenza di una formula risolutiva tale che quando sostituisci i coefficienti ottieni le soluzioni, e che funzioni indipendentemente dal valore dei coefficienti.