algoritmo euclideo MCD

[celeste]

Ciao! qualcuno mi spiega l'algoritmo euclideo per trovare il MCD di due polinomi?magari facendo un esempio pure..io l'avevo scarabocchiato a matita sul quaderno ma non capisco cosa c'è scritto..pensavo non fosse importante, e invece oggi serviva nel compito d'esame..

altra domanda, come faccio a costruire un campo con un determinata cardinalita, per esempio, 27?

[luca.barletta]

funziona esattamente come l'algoritmo di euclide per i numeri (al posto dei numeri hai dei polinomi):
$d(x)=gcd(a(x),b(x))$, $deg(a)>deg(b)$
$a(x)=q_1(x)b(x)+r_1(x)$
$b(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$
...
$r_k(x)=q_(k+2)(x)*r_(k+1)(x)+r_(k+2)(x)$

si continua finché il resto $r_(k+2)(x)$ si annulla, in tal caso $gcd(a(x),b(x))=r_k(x)$

[Gaal Dornick]

se vuoi un campo di cardinalità n:
se n è un numero primo allora no problem Zn (l'insieme delle classi di resto modulo n) è un campo

Altrimenti: ad esempio $27=3^3$
consideri l'anello dei polinomi a coefficienti in Z3, lo quozienti con un polinomio di 3° grado e otterrai un anello di cardinalità 27. per assicurare che sia un campo devi quozientare con un polinomio irriducibile.

[matths87]

Non vorrei sbagliarmi, ma mi sembra che si deve quozientare con l'IDEALE generato dal polinomio irriducibile.
Esempio: campo di cardinalità 4

$(ZZ_(2)[x])/((x^2+x+1))$

[miuemia]

ma il campo detto da matths...nn ha $8$ elementi=???????

[matths87]

Una conseguenza diretta del teorema di Kronecker è la seguente:

sia $p$ un primo; allora:

$(ZZ_(p)[x])/((f(x))$

è un campo con cardinalità $p^n$, dove $n$ è il grado del polinomio irriducibile $f(x)$.

[Gaal Dornick]

sissi hai ragione tu.. non sono freschissimo di algebra..
cmq sono $2^2$ elementi, visto che il generico elemento del campo è $ax+b$ con a,b in $ZZ_(2)$

[celeste]

Ok, ho capito, grazie!

[miuemia]

si mi sono confuso io... sono $2^2$ elementi.... sorry...