da luca69 » 13/11/2019, 12:23
Nell'occasione ho ripreso un po' la teoria che porta alla "formula risolvente" $(5)$, che ti serve per il tuo esercizio. Spero di non aver preso abbagli, nel qual caso qualcuno ce lo dirà.
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Dato $n \in ZZ$, definiamo $nZZ:=\{mn, m \in ZZ\}$ l'insieme degli interi multipli di $n$. Dato $a \in ZZ$, diremo che:
$$\mathbb{Z} \ni b \sim a \stackrel{(def.)}{\Longleftrightarrow} b-a \in n\mathbb{Z} \Longleftrightarrow \exists m \in \mathbb{Z} \mid b=a+mn \tag 1$$
La relazione $(1)$ è di equivalenza in $ZZ$. La classe di equivalenza di $a \in ZZ$ è l'insieme:
$$\bar a := \{b \in \mathbb{Z} \mid b \sim a\}= \{a+mn, m \in \mathbb{Z}\} \tag 2$$
Per l'algoritmo euclideo, dato $n$ intero positivo, per ogni $b \in ZZ$ esistono $s \in ZZ$ e $r \in \{0,...,n-1\}$ tali che $b=sn+r$, per cui:
\begin{alignat*}{1}
\bar b &= \{b+mn, m \in \mathbb{Z}\} \\
&=\{(sn+r)+mn, m \in \mathbb{Z}\} \\
&=\{r+(s+m)n, m \in \mathbb{Z}\} \\
&=\{r+tn, t \in \mathbb{Z}\} \\
&=\bar r \\
\tag 3
\end{alignat*}
Pertanto, $ZZ_n:=ZZ//nZZ= \{\bar 0$, ..., $\overline{n-1}\}$.
Ora, tra gli elementi (insiemi!) di $ZZ_n$ definiamo l'operazione "$+$" nel modo seguente:
$$\bar i + \bar j := \overline{i+j} \tag 4$$
(Poiché stiamo definendo un'operazione tra classi mediante dei loro rappresentanti, dobbiamo essere sicuri che il risultato di questa operazione non dipenda dalla scelta dei rappresentanti delle classi-termini. Quindi, vorremmo che $i' \in \bar i, j' \in \bar j \Rightarrow \bar{i'}+\bar{j'}=\overline{i+j}$; ma quest'ultima uguaglianza è vera, perchè $\bar{i'}+\bar{j'}=\overline{i'+j'}$, e $i'+j'$ e $i+j$ hanno lo stesso resto modulo $n$. Quindi $(4)$ è una "buona definizione".)
Ora, $(ZZ_n,+)$ è gruppo con elemento neutro $\bar 0$. L'ordine di $\bar a \in ZZ_n$ è (definizione) il più piccolo intero positivo, $o(\bar a)$, tale che $o(\bar a)\bar a=\bar 0$. Ma per $(4)$, $o(\bar a)\bar a=\overline{o(\bar a)a}$, per cui $o(\bar a)\bar a=\bar 0 \Leftrightarrow \overline{o(\bar a)a}=\bar 0 \Leftrightarrow o(\bar a)a \equiv 0 mod n \Leftrightarrow o(\bar a)a=mn$, per un opportuno $m$. In conclusione, l'ordine di $\bar a$ è il più piccolo intero positivo della forma $n//(a/m)$; quindi, esso si ottiene quando al denominatore c'è il più grande divisore di $a$ che sia anche divisore di $n$, ovvero:
$$o(\bar a)=\frac{n}{MCD(a,n)} \tag 5$$
In particolare, l'ordine di $\bar a$ coincide con l'ordine del gruppo ($n$) non appena $a$ è coprimo con $n$ ($MCD(a,n)=1$); se $n$ è primo, questo accade per ogni $a=1,...,n-1$.
Nel tuo caso, applica la $(5)$ per $n=15$ e $a=1,...,14$.