Polinomio minimo di un elemento algebrico

Salve a tutti

Ho bisogno di aiuto per trovare un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Q}$ che si annulla in $\alpha = \root[3]{6}+\sqrt{2}$.
Intanto posso dire che $\mathbb{K}:=\mathbb{Q}(\root[3]{6},\sqrt{2})$ contiene un campo di spezzamento su $\mathbb{Q}$ per il polinomio minimo di $\alpha$ vero? perchè la radice $\alpha$ la posso esprimere come somma di due elementi del campo considerato suppongo.
Poi essendo la radice cubica e la radice quadrata di gradi primi fra loro su $\mathbb{Q}$ posso dire che una non sta nell'estensione di $\mathbb{Q}$ per l'altra. Dunque $[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]\le 6$ per le torri di estensioni giusto? Di conseguenza mi aspetto che il polinomio minimo abbia grado massimo $6$ o un suo divisore... anche se mi sembra impossibile che sia un suo divisore perchè con un polinomio minimo di grado 2 non posso avere una radice cubica come radice e nemmeno il rovescio mi sembra sensato.

A meno di non aver detto castronerie nel frattempo qualcuno può darmi un'idea di come fare per calcolare il polinomio minimo per favore? Stavo pensando di provare con qualcosa tipo radicali doppi per rendere più simpatica la radice $\alpha$ ma non ho trovato formule in tal senso.

Grazie in anticipo

Ti consiglio di leggere questo, sezione 4 (pagine 8, 9 e 10).