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Siano $X$ insieme e $Y \subseteq X$. Data una biiezione $u$ su $X \setminus Y$, ogni biiezione $\alpha$ su $Y$ può essere estesa ad una biiezione $\varphi_u(\alpha)$ su $X$ mediante:
\begin{alignat*}{1}
&\varphi_u(\alpha)_{|Y}:=\alpha \\
&\varphi_u(\alpha)_{|X \setminus Y}:=u \\
\end{alignat*}
Noto che $\varphi_u(\alpha)=\varphi_u(\beta) \Rightarrow \varphi_u(\alpha)_{|Y}=\varphi_u(\beta)_{|Y} \Rightarrow \alpha=\beta$, per cui $\varphi_u$ è iniettiva per ogni $u \in Sym(X \setminus Y)$. Invece,
$$\varphi_u(\alpha\beta)=\varphi_u(\alpha)\varphi_u(\beta) \Longleftrightarrow u=\iota_{X \setminus Y} \tag 1$$
Quindi, fra tutte le $\varphi_u$, solo $\varphi_{\iota_{X \setminus Y}}$ è un'immersione di $Sym(Y)$ in $Sym(X)$. Questa mi sembra, per così dire, l'"immersione naturale".

Vi sono altri modi per immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Sì ci sono moltissimi modi. Solo i casi in cui $|X|-|Y|$ è molto piccolo danno una classificazione ragionevole delle immersioni. Per esempio $S_n$ si immerge in $S_(n+1)$ solo nei modi canonici per $n$ diverso da $5$.

Ma se X e Y hanno cardinalità molto lontane tra loro non c'è speranza di caratterizzare le immersioni.

Ciao luca69, mi potresti per piacere far vedere un esempio concreto utilizzando la tua dimostrazione
nel caso
$X=ZZ$ insieme e $NN⊆Z$.
Data una biiezione $u$ su $ZZ \\ NN$, ogni biiezione $α$ su $NN$ può essere estesa ad una biiezione $φ_u(α)$ su $ZZ$....

Ciao,

ad esempio, $\varphi_{\iota_{ZZ \setminus NN}}(\iota_NN)=\iota_ZZ$: infatti, la funzione identica di $NN$ si può estendere a $ZZ$ associando ad ogni intero negativo o nullo l'intero stesso (in pratica, "congiungi" tra di loro le due funzioni identiche, di $NN$ e di $ZZ \setminus NN$, e ottieni la funzione identica di $ZZ$).

Come esempio meno banale di biiezione su $NN$ (cioè diversa da $\iota_{NN}$) si può prendere un sottoinsieme finito $I:=\{i_1,...,i_r\} \subseteq NN$ e una permutazione $\sigma$ che fissa tutti i naturali ad eccezione degli elementi di $I$. Lo stesso si può fare con gli interi negativi. Se ora "congiungiamo" le due permutazioni tra di loro mediante una funzione $\beta$ definita sul solo $0$ da $\beta(0)=0$, dovremmo ottenere una biiezione su tutto $ZZ$.

Martino ha scritto:Per esempio $S_n$ si immerge in $S_(n+1)$ solo nei modi canonici per $n$ diverso da $5$.

L'unica immersione che mi viene in mente è $f: S_n rightarrow S_{n+1}$, $\alpha \mapsto \sigma$, definita da:
\begin{alignat*}{1}
i \in \{1,...,n\} \Rightarrow \sigma(i)&:=\alpha(i) \\
i =n+1 \Rightarrow \sigma(i)&:=n+1
\end{alignat*}
Ma vedo che usi il plurale, quindi mi chiedevo quali altre ("canoniche") si possono costruire (forse con le potenze di $\alpha$ fino al suo ordine?). Inoltre, mi incuriosisce la particolarità del caso $n=5$: puoi dirmi di più?

Grazie

In due parole: se hai un'immersione puoi coniugare per trovarne altre. Mi spiego meglio.

Se $Y_1$ e $Y_2$ sono sottoinsiemi di $X$ della stessa cardinalità allora $Sym(Y_1)$ e $Sym(Y_2)$ sono gruppi isomorfi (facile esercizio). Quindi hai un'immersione canonica di $Sym(Y)$ in $Sym(X)$ semplicemente sostituendo $Y$ con un sottoinsieme di $X$ della stessa cardinalità di $Y$.

Più in generale, se hai un'immersione $f:H to G$ puoi costruirne molte altre tramite il coniugio: fissato $g in G$ definisci $f_g:H to G$ da $h to gf(h)g^{-1}$. Più in generale se $phi$ è un isomorfismo $G to G$ e $f:H to G$ è un'immersione allora puoi costruire un'altra immersione componendo $f$ con $phi$: $H to G$, $h to phi(f(h))$. Nel caso dei gruppi simmetrici la cosa è intuitiva (l'ho spiegata sopra), e in particolare $S_n$ si immerge in $S_{n+1}$ in almeno $n+1$ modi, dati dalla scelta del punto fissato da $S_n$ (di nuovo, la spiegazione formale la trovi qui sopra nel primo paragrafo).

Nel caso di $n=5$ oltre alle $6$ immersioni canoniche $S_5 to S_6$ ci sono altre $6$ immersioni (cioè una immersione, a meno di coniugio) essenzialmente distinte date dal fatto seguente. $S_5$ ha sei $5$-sottogruppi di Sylow. Sia $R$ l'insieme dei sei $5$-Sylow di $S_5$. Allora $S_5$ agisce su $R$ per coniugio in modo transitivo (per il teorema di Sylow) e la rappresentazione permutazionale associata $S_5 to Sym(R) cong S_6$ è un omomorfismo iniettivo, cioè un'immersione di $S_5$ in $S_6$. Siccome è un'immersione la cui immagine agisce transitivamente sui sei oggetti, non può essere associata a nessuna delle sei immersioni canoniche (perché le immagini delle immersioni canoniche non agiscono transitivamente).

Si può dimostrare (ma non è facilissimo) che se $n ne 6$ allora le uniche immersioni di $S_{n-1}$ in $S_n$ sono quelle canoniche (a meno di comporre con isomorfismi $S_{n-1} to S_{n-1}$).

Grazie Martino. Provo a rielaborare un po', non sono cose immediate per me.

Martino ha scritto:Se $ Y_1 $ e $ Y_2 $ sono sottoinsiemi di $ X $ della stessa cardinalità allora $ Sym(Y_1) $ e $ Sym(Y_2) $ sono gruppi isomorfi (facile esercizio).

Questo l'ho svolto così:

Martino ha scritto:Quindi hai un'immersione canonica di $ Sym(Y) $ in $ Sym(X) $ semplicemente sostituendo $ Y $ con un sottoinsieme di $ X $ della stessa cardinalità di $ Y $.

Questo lo intendo così: se $\psi$ è un'immersione di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$, allora - con le notazioni in spoiler - $\psi\varphi^{(f)}$ è un'immersione di $Sym(Y_1)$ in $Sym(X)$, in quanto composizione di un omomorfismo iniettivo di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$ dopo un isomorfismo di $Sym(Y_1)$ in $Sym(Y_2)$.

Martino ha scritto:Più in generale, se hai un'immersione $ f:H to G $ puoi costruirne molte altre tramite il coniugio: fissato $ g in G $ definisci $ f_g:H to G $ da $ h to gf(h)g^{-1} $.

Che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $gf(H)g^{-1} \cap \tilde gf(H)\tilde g^{-1}$, dati $g,\tilde g \in G$?

Martino ha scritto:Più in generale se $ phi $ è un isomorfismo $ G to G $ e $ f:H to G $ è un'immersione allora puoi costruire un'altra immersione componendo $ f $ con $ phi $: $ H to G $, $ h to phi(f(h)) $.

Questo mi fa generalizzare anche la domanda precedente: che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $\phi(f(H)) \cap \tilde \phi(f(H))$, dati $\phi,\tilde \phi \in Aut(G)$?

Martino ha scritto:in particolare $ S_n $ si immerge in $ S_{n+1} $ in almeno $ n+1 $ modi, dati dalla scelta del punto fissato da $ S_n $

Posto $I_r:=\{1,...,n+1\} \setminus \{r\}, r=1,...,n+1$, le applicazioni $i_r: S_{I_r} (\cong S_n) \rightarrow S_{n+1}, \alpha \mapsto \sigma$, definite da:
\begin{alignat*}{1}
i \in I_r \Rightarrow &\sigma(i)=\alpha(i) \\
i=r \Rightarrow &\sigma(i)=r
\end{alignat*}
sono $n+1$ immersioni: possiamo comunque dire "di $S_n$ in $S_{n+1}$"? Lo chiedo perchè in realtà $I_r=\{1,...,n\}$ solo per $r=n+1$.

Il resto (caso $n=5$) è un po' troppo "oltre" per me ora, ma ci tornerò. Grazie.

Sì giusto.

luca69 ha scritto:che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $\phi(f(H)) \cap \tilde \phi(f(H))$, dati $\phi,\tilde \phi \in Aut(G)$?

Rispondere in generale è impraticabile, perché stiamo parlando di situazioni estremamente generali. Nel caso particolare di $Sym(Y_1) nn Sym(Y_2)$ tale intersezione consiste delle permutazioni $g in Sym(X)$ che stabilizzano sia $Y_1$ che $Y_2$.

possiamo comunque dire "di $S_n$ in $S_{n+1}$"? Lo chiedo perchè in realtà $I_r=\{1,...,n\}$ solo per $r=n+1$.

Certo, l'importante è capirsi.

Ok, grazie.