Esercizi Gruppo simmetrico

[vitoci]

Mi fate vedere come svolgere questo esercizio? Ho pensato di metterli in forma matriciale per ottenere $ pi$, ma con 3 permutazioni non riesco. devo farle 2 per volta?

Date in S20 le permutazioni $ rho = (2 4), sigma = (135)(24), tau =(124)(35) $ , determinare cicli, periodo e segno della permutazione $ pi = (rho sigma tau )^293049 $

[otta96]

Sai scrivere la permutazione $\rho\sigma\tau$?

[vitoci]

ho provato a svolgerlo nel frattempo che aspettavo la pubblicazione ma vorrei conferme e correzioni nel caso.
$rho sigma tau = (12435)$ giusto? partendo da destra verso sinistra e partendo dall'1 di $tau$ per intenderci
$rho sigma tau $ ha periodo 5. il MCD (293049, 5)=1 quindi il periodo di $ pi ^293049 =5/1 = 5 $.
$ (12435) = (15)(13)(14)(12) $ quindi la permutazione è pari.

[otta96]

Se non ho sbagliato i conti dovrebbe venire $(1243)$.
Quindi $\pi=(1243)^1=(1243)$, che ha ordine $4$ e segno dispari.

[vitoci]

Si vero, avevo sbagliato io alla fine con 3 ritornavi in 1
quindi il periodo di $ rho sigma tau = 4, MCD (293049, 4)=1 $
Poi una domanda se il MCD fosse uscito 2 ad esempio dovevo elevare la $pi$ a 2?
Quindi per sapere il periodo di $pi$ non centra nulla fare il periodo della base/MCD?

[otta96]

C'è un teorema che ti dice che l'ordine di una potenza di un elemento in un gruppo è l'ordine del gruppo fatto l'MCD tra l'ordine del gruppo e l'esponente. Se vuoi calcolare la potenza devi ridurre l'esponente modulo l'ordine (è quello che ho fatto io, infatti $293049=73262*4+1$).

[Alin]

Mi collego alla vostra discussione per curiositá:
se avessimo avuto per esempio
$pi=(123456) in S_6$
e $tau =pi^(33)$
essendo $o(pi)=6$
avremmo avuto $o(tau^33) = 6/(MCD(6,33))=2$
ed infatti essendo $MCD(6,33)=3$
risulta che $o(123456)^3= 2$

[otta96]

Si esatto, se vuoi fare la verifica basta che noti che $\tau=\pi^3=(14)(25)(36)$, che ha evidentemente ordine $2$.