Morfismo

Sia $S_8$ l'insieme delle permutazioni sull'insieme ${1,2,3,4.....8}$ e sia $tau=(2583)°(1425)°(67)$
Trovare un morfismo  $phi:ZZ rarr S_8$ tale che $Im(phi)=<tau>$

essendo  $o(tau)=6$ c'é un omomorfismo iniettivo da
$ZZ_6 rarr <tau>$
definito da
$1rarr tau^1$
Quindi si ottiene
$phi(×+y)= phi(x)phi(y)=tau^(x+y)=tau^xtau^y$
Non é anche suriettivo?
Vi chiedo se l'omomorfismo cosí definito va bene. Se ne possono trovare altri?
Grazie

Credo sia sostanzialmente corretto. Metto anche come l'avrei fatto io, così mi associo alla richiesta di verifica.

Come dici tu, la permutazione $tau$ ha ordine $6$, avendo struttura ciclica $(2,3,3)$. Poi, $\phi: i \mapsto \tau^i$ è omomorfismo di $ZZ$ su $S_8$, di nucleo $ker(\phi)=\{i \in ZZ | \phi(i)=\iota_{S_8}\}=\{i \in ZZ | \tau^i=\iota_{S_8}\}=\{i \in ZZ | i \equiv 0 mod 6\}=6ZZ$.

Ora, $\phi$ è suriettivo sulla sua immagine, quindi (1° teorema di omomorfismo) $Im(phi) \cong ZZ//ker(\phi)=ZZ//6ZZ=ZZ_6 \cong \langle \tau \rangle$; ma $\phi(1)=\tau$, quindi $Im(\phi)=\langle \tau \rangle$.

Grazie luca69, molto chiaro!

Prego. Ciao