Equazione congruenziale

[Aleeeessio]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questa equazione congruenziale:
$22^(77)x-= 44 mod 100$
Probabilmente è banale ma mi sfugge qualcosa, grazie a chi mi aiuterà!

[Aleeeessio]

Up

[Alin]

Se un numero termina per $2$ noi possiamo trovare le ultime sue cifre aiutandoci con il risultato di queste potenze:
$(2)^(10)=24$ cioé le ultime $2$ cifre sono $24$

$(4)^(2n+1)=24$ cioé le ultime $2$ cifre sono $24$

$(4)^(2n)=76$ cioé le ultime $2$ cifre sono $76$
$(76)^(2n vv 2n+1)=76$ cioé le ultime $2$ cifre sono sempre $76$
Nel tuo caso
$22^(77)=(22^(10) )^7*22^7$
dove le ultime cifre di $ (22^(10) )^7 =24$
Ti restano da trovare le ultime due cifre di $22^7$
Ma le potenze di $2$ sono cicliche:
$2^1=2 $
$2^2=4$
$2^3=8$,
.....
Alla fine trovi che le ultime cifre di $2^7=22^7=88$
$88×24=2112$ le ultime due cifre sono $12$
Tutto si riduce a
$12x-= 44 mod 100$
Adesso dovrebbe essere piú facile...

[Aleeeessio]

Se un numero termina per $2$ noi possiamo trovare le ultime sue cifre aiutandoci con il risultato di queste potenze:
$(2)^(10)=24$ cioé le ultime $2$ cifre sono $24$

$(4)^(2n+1)=24$ cioé le ultime $2$ cifre sono $24$

$(4)^(2n)=76$ cioé le ultime $2$ cifre sono $76$
$(76)^(2n vv 2n+1)=76$ cioé le ultime $2$ cifre sono sempre $76$
Nel tuo caso
$22^(77)=(22^(10) )^7*22^7$
dove le ultime cifre di $ (22^(10) )^7 =24$
Ti restano da trovare le ultime due cifre di $22^7$
Ma le potenze di $2$ sono cicliche:
$2^1=2 $
$2^2=4$
$2^3=8$,
.....
Alla fine trovi che le ultime cifre di $2^7=22^7=88$
$88×24=2112$ le ultime due cifre sono $12$
Tutto si riduce a
$12x-= 44 mod 100$
Adesso dovrebbe essere piú facile...

Non ho capito molto, partendo dalle basi, perche 4 alla 2n+1 = 24? Se n=1 4 alla 3 fa 64, ad esempio.

[Alin]

Non é $4$ é $24$ ho digitato male!
Le ultime cifre di $24^(2n+1)=24$
Le ultime cifre di $24^(2n)=76$

[Aleeeessio]

Non é $4$ é $24$ ho digitato male!
Le ultime cifre di $24^(2n+1)=24$
Le ultime cifre di $24^(2n)=76$

Ho capito, e invece cosa intendi precisamente con “le potenze di due sono cicliche”?

[Alin]

Alla fine trovi che le ultime cifre di$ 22^7=88$
$2^7=22^7$ solo come cifra delle unitá.
Infatti le potenze di $2$ hanno solo la cifra finale come le potenze $22$
$2^2=4$
$22^2=484$
La cifra che si ripete é sempre $2,4,6,8$
Per le ultime due invece va bene lo schema di prima:
se un numero termina per $2$ noi possiamo trovare le ultime sue cifre aiutandoci con il risultato di queste potenze:
$(2)^10=24 $cioé le ultime $2 $cifre sono $2,4$
$.......$