ho il seguente esercizio tratto da un testo d'esame:
dato un gruppo $G$ semplice di ordine $60$ mostrare che $n_2 in {5,15}$
allora intanto $60=5*3*2^2$
${(n_2 equiv1(mod2)),(n_2|15):} => {(n_2 equiv1(mod2)),(n_2 in {1,3,5,15}):}$
$1$ non può essere per semplicità
bisogna mostrare che $n_2 ne3$
supponiamo per assurdo che sia $n_2=3$
definisco $S$ l'insieme dei $2-$sylow di $G$ e $*:GtimesS->S$ come $gP=gPg^(-1)$
dalla equazione delle classi $abs(S)=abs(S_0)+sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]$
si ottiene che $abs(S)=3$ per ipotesi di assurdo e che $abs(S_0)=0$ poichè $S_0$ contiene i $2-$sylow che sono normali e quindi per semplicità deve essere $S_0=emptyset$
quindi $sum_((i=1),(P_i in S))^(r)[G:Stab(P_i)]=sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]=3$ con $rgeq1$
quindi dato un $P_i$ si ottiene $15=abs(G)/(abs(P_i))leq(abs(G))/(abs(Stab(P_i)))leq3$
di fatto $Stab(P_i)->P_i$ è una immersione tramite $g->gsg^(-1)$ per qualche $s in P_i$
il che torna l'assurdo cercato e pertanto deve essere $n_2 ne3$
Ho esame domattina
