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Buongiorno, stavo svolgendo degli esercizi di Algebra con soluzioni (esoneri).

E c'è un esercizio che però mi riempie di dubbi.




Vedete, innanzitutto chiede di scrivere una tabella di add. e molt. di quella Struttura Algebrica.

Poi chiede, che tipo di Struttura sia.

Nella soluzione però, non c'è segno di tabella a cui io possa confrontarmi.(Ad essere sinceri non sò come sia fatta una tabella del genere)

E sempre nella soluzione, non dimostra come tale struttura sia un anello, e tanto meno come esso possa essere Commutativo.
Dimostra l'esistenza di un divisore dello zero almeno, e gli elementi invertibili.

C'è una qualche spiegazione che giustifichi come si possa dare per scontato che una struttura del genere sia un anello commutativo?
Magari un teorema?

Questi sono i miei dubbi per il momento.

Per quanto riguarda la tabella, devi semplicemente scrivere due tabelle in cui ad ogni riga e colonna corrisponde un elemento della struttura algebrica e nella cella corrispondente scrivi il valore della somma o del prodotto a seconda della tabella (suppongo tu possa anche scrivere tutto in una singola tabella ma trovo due tabelle più chiare).

Sembra dare per scontato che il prodotto diretto di anelli commutativi sia un anello commutativo. Ma forse ha semplicemente deciso di evitare di scrivere i passaggi essendo possibile dimostrarlo applicando le definizioni delle operazioni e mostrare che soddisfano le necessarie proprietà.

In merito alla compilazione di tabelle, vedi qui.

Ok, grazie per le risposte.
Per essere sicuri, affinchè sia un anello dovrei dimostrare che quell'insieme rispetto alla somma sia un gruppo abeliano, e che invece rispetto al prodotto sia associativo e rispetti la legge di distribuzione fra somma e prodotto, vero?

Sì, ovvio.
Ma la dimostrazione è facile: basta sfruttare le proprietà delle operazioni di $ZZ_2$ e $ZZ_3$.