Esercizio funzione iniettiva

[Saverio00]

Salve a tutti! Vorrei un aiuto con questa dimostrazione
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Provare che un'applicazione $f:S \rightarrow T$ è iniettiva se e soltanto se per ogni coppia di sottoinsiemi di $S$ risulta $f(X - Y)=f(X) - f(Y)$"

Ho pensato di dimostrare l'implicazione da sinistra verso destra in questo modo:
sia $ yin f(X-Y) $ allora $ EE x in X-Y : f(x)=y $
Dunque $ x in X $ e non appartiene a $ Y $, ovvero $ Xnn Y $. Essendo l'intersezione dei due sottoinsiemi contenuta in $ X $ ed essendo la funzione iniettiva, $ yin f(X)-f(Xnn Y) rArr f(X-Y)sube f(X)-f( Y) $ ed, essendo l'altra implicazione versa per ogni funzione, vale la seguente disuguaglianza.
Il concetto mi è chiaro, ma come posso esprimerlo bene?

Per quanto riguarda l'altra implicazione, dovrebbe invece essermi chiara e pertanto non preferisco chiarire prima laltra

Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi a svolgere il quesito e auguro a tutti una buona serata

[Derio97]

Ciao, purtroppo non mi è molto chiaro il tuo procedimento, ma volendo ti posso mostrare come io avrei svolto l'esercizio:

$ (rArr) $
$ f $ iniettiva $ rArr AA t in f(S)EE !s in S:t=f(s) $

$ (subseteq)$
$ t in f(X text{\} Y)rArr EE !s in X text{\} Y :t=f(s) $
$ t in f(X): $
$ s in X text{\} Y rArr s in X rArrt=f(s) in f(X) $
$ t notin f(Y): $
$ s in X text{\} Y rArr s notin Y,$ $ p.a. t inf(Y) rArrf(s)in f(Y) rArr $ $ EE y in Y:f(s)=f(y) $ , ma $ s ne y rArr f $ non iniettiva, assurdo
$ t in f(X) ^^ t notinf(Y) rArrt in f(X) text{\}f(Y) $

$ (supseteq)$
$ t in f(X) text{\}f(Y)subseteq f(S) rArr EE ! s in S: t=f(s) $
$ s in X: $
$ t in f(X) text{\}f(Y) rArr t in f(X) rArr f(s) in f(X) rArr $ $ EE x in X: f(s)=f(x) rArr s=x rArr s in X $
$ s notin Y: $
$ t in f(X) text{\}f(Y) rArr t notin f(Y) rArr f(s) notin f(Y) rArr s notin Y $
$ s in X ^^ s notinY rArrs in Xtext{\}Y rArrt=f(s) in f(Xtext{\}Y) $

$ (lArr )$
$s_1,s_2 in S $
$ f(s_1)=f(s_2),$ $ p.a. s_1nes_2 $ $ rArrs_1 in Stext{\}{s_2} rArr f(s_1) in f(Stext{\}{s_2}) $ $ =f(S)text{\}f({s_2}) rArr f(s_1) notinf({s_2}) rArrf(s_1)nef(s_2) $ , assurdo

Spero sia tutto corretto