Isomorfismo tra gruppi ciclici

[AlexanderSC]

Buona sera,

stavo facendo degli esercizi, e una delle richieste era quello di spiegare perchè un gruppo ciclico di ordine \( n \) , sarà sempre isomorfo al gruppo $ ( ZZ_n, + )$.

Con $ZZ_n$ mi riferisco all'insieme delle classi di equivalenza, dove ogni elemento conterrà gli interi che divisi per $n$ daranno lo stesso resto.

Il problema è che questa dimostrazione non l'ho trovato in nessun testo o slide riguardante Algebra del mio corso.

Quindi mi chiedevo se qualche buon anima avesse la pazienza di spiegarmelo?
(O alternativamente indirizzarmi ad un sito con la dimostrazione)

Grazie

[kaspar]

Vedi un po' come sono fatti i due gruppi. Come sono fatti? Prova a proporre qualche funzione e vedere se è un isomorfismo.

[AlexanderSC]

Hanno stessa cardinalità, e con una funzione $ f:<x> rarr Z(n) $ definita come:
$ f( x^n ) = n $ $ AA x in <x>, AA n in Z(n) $

e con la f^(-1) definita come:

$ f^(-1)(n) = x^n $ $ AA x in <x>, AA n in Z(n) $

avremo un isomorfismo?

Il fatto è che per essere isomorfi fra loro, i rispettivi gruppi dovrebbero conservare le operazioni sia da un lato che dall'altro, è vero che è possibile farlo esplicitamente per ogni coppia di numeri, ma quando sono tanti diventa estremamente dispendioso in termini di tempo.

Mi chiedevo se ci fosse una dimostrazione generale che potesse dimostrare che questa conservazione fosse Ben Posta.

P.s.
Davo per scontato che l'operazione fosse additiva.

[AlexanderSC]

Ehm, help?

[Derio97]

Dato $ G=<g> $ , costruisci un'applicazione $ varphi : mathbb{Z}rarr G $ che manda $ i $ in $ g^i $ , una volta provato che è suriettiva ed è un omomorfismo, devi provare $ Kervarphi =<n> $ (con $ <n> ={kn:kinmathbb{Z}} $) , infine non ti resta che applicare il Primo Teorema di Omomorfismo, ricordando che $ mathbb{Z} $ $ / $ $ <n> $ $ = $ $ mathbb{Z}_n $ .