Congruenza fra un insieme e un gruppo ciclico

Buon pomeriggio,

Mi stavo chiedendo, quando abbiamo un gruppo U(Z 50) degli elementi invertibili dell’anello delle classi resto modulo 50, come passiamo essere sicuri che esso sia un gruppo ciclico congruo <3>?

Verificarlo manualmente può essere un opzione, ma mi chiedevo se ne esistessero altre?

Aiutooo

Per cominciare dovresti studiarti i gruppi abeliani di quel particolare ordine. Quanti sono? Quali sono? La cosa non è immediata perché ci sono \(20\) elementi invertibili in \(\mathbb{Z}_{50}\) (ho usato la funzione totiente).

Comunque a meno di miei errori nella lettura della tabella, \(3\nmid 20\) quindi penso tu abbia fatto un qualche errore...

Non sono sicuro che sia ciclico perché \(\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{2}\cong \mathbb{Z}_{5}\times V_4 \cong \mathbb{Z}_{5}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\) e \(\mathbb{Z}_{20}\cong \mathbb{Z}_{5}\times\mathbb{Z}_{4}\) non sono isomorfi. Suppongo si debba fare qualche calcolo per vedere quale sia dei due. Anche se magari esiste un metodo più rapido, non vedo queste cose da anni.

Per $n$ dispari, la mappa canonica $U( ZZ_{2n})\rightarrow U(ZZ_n)$
e’ un isomorfismo.

Se $n$ e’ potenza di un primo $p>2$, allora $U(ZZ_{n})$ e’ ciclico.
La $p$-parte di $U(ZZ_{n})$ e’ generato da un qualsiasi intero
congruo a $1$ mod $p$, ma non congruo a $1$ mod $p^2$.
La non-$p$-parte di $U(ZZ_{n})$ e' isomorfo al gruppo
ciclico $U(ZZ_p)$ (via la mappa canonica).

Quindi, se $n$ e’ potenza di un primo $p>2$, allora $g$
genera $U(ZZ_n)$ se e solo se $g$ mod $p$ genera $U(ZZ_p)$ e
$g^{p-1}$ non e’ congruo a $1$ modulo $p^2$.

In questo caso, $g=3$ genera $ZZ_5$, e $3^4=81$ non e'
congruo a $1$ mod $25$. Ne segue che $g=3$ genera $U(ZZ_{25})$
e quindi anche $U(ZZ_{50})$.