Azioni cofree di gruppo.

[3m0o]

Cercando di risolvere questo esercizio mi sono reso conto di non aver ben capito cos'è una azione cofree. E vi chiederei gentilmente una mano a capire il concetto di quest'azione e i dubbi (sotto) che mi sono sorti. Prendo spunto dall'enunciato dell'esercizio, che comunque non chiedo una mano per risolvere, il mio problema è proprio il concetto di azione cofree. Ecco l'enunciato:
Sia \( G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \). Sia \( Y \) un insieme qualunque. Dimostra che abbiamo una biiezione
\[ \mathcal{F}(X,Y) \cong \mathcal{F}_G (X, \prod\limits_{g \in G} Y )\],
dove \(G \) agisce su \( \prod\limits_{g \in G} Y \) permutando i fattori.

Indicazione:
Se \( f: X \to Y \) è un applicazione di insieme, considera l'applicazione
\[ X \to \prod\limits_{g \in G} Y, x \mapsto \left( f(g^{-1} \cdot x) \right)_{g\in G} \]

Notazione:
\( \mathcal{F}(X,Y) \) sono le applicazioni da \( X \to Y \)
\( \mathcal{F}_G (X, \prod\limits_{g \in G} Y ) \) sono le applicazioni \(G\)-equivarianti da \( X \to \prod\limits_{g \in G} Y \)
\( \prod\limits_{g \in G} Y \) lo spiego sotto

Ora arriva il problema, (per prima cosa nell'enunciato non c'è il fatto che il gruppo è finito), in ogni caso non capisco cosa fa questa azione...allora per azione Cofree abbiamo visto quanto segue:
Sia \( G= \{e,a_1,\ldots,a_n \} \) un gruppo finito. Consideriamo
\[ \prod\limits_{g \in G} Y = \{ (y_0,\ldots,y_n) : y_i \in Y, 0\leq i \leq n \} \]
Muniamo \( \prod\limits_{g \in G} Y \) di una azione di \( G \) per una permutazione di \( (n+1)\)-uple
Più precisamente \( \forall a \in G \) e per \( \sigma \in S_n \) abbiamo che
\[ a \cdot (y_0,\ldots,y_n)= (y_{\sigma(0)}, \ldots, y_{\sigma(n)} ) \]
\( a \cdot e = a_{\sigma(0)}=a \), \( a \cdot a_1 = a_{\sigma(1)} \), ... , \( a \cdot a_n = a_{\sigma(n)} \)
La permutazione \( \sigma \) viene dal fatto che per \( \forall i \) risulta che \( a \cdot a_i \in \{ a_0,\ldots,a_n\} \).

Sia l'azione \( \pi : G \times \prod\limits_{a \in G} Y \to \prod\limits_{a \in G} Y \)

Notazione: \( \operatorname{Cofree}_G (Y)= (\prod\limits_{a \in G} Y, \pi ) \)

Un'altra descrizione della stessa azione, sia \( \mathcal{F}(G,Y) \ni f : G \to Y, a_i \mapsto y_i \), e consideriamo
\( G \times \mathcal{F}(G,Y) \to \mathcal{F}(G,Y) \), \( (a,f) \mapsto a \cdot f \), \( a \cdot f(b) = f(ab) \).

Fine dei miei appunti sulle azioni Cofree.
1) Non capisco bene come è costruito quell'insieme \( \prod\limits_{g \in G} Y \), sono tutte le possibili \(n+1\)-uple di elementi di \( Y \), corretto?
2) Se alla 1) la risposta è affermativa, \( \sigma \in S_n \) lo sclego in modo tale che supponendo \( a \cdot a_i = a_j \) allora \( \sigma(i)=j \) ?
3) \( G \) dev'essere necessariamente finito?
4) L'azione cofree di un gruppo (finito) \( G \) su un insieme \(Y \) cosa fa? Fisso \( g \in G \) e \( y \in \prod\limits_{g \in G} Y \), l'insieme costituito da tutte le \(\left| G \right|\)-uple di \( Y \), \( g \cdot y \) mi restituisce un'altra upla con i termini di \(y \) permutati in base alla permutazione \( \sigma \) definita da \( g \) nel modo in cui chiedo alla domanda 2)?
5) Il modo in cui ordino gli elementi di \( G \) cambia l'azione?
7) Non riesco a capire perché l'altra descrizione dell'azione è equivalente a quella sopra.
8) Non ho capito molto bene la notazione dell'indicazione, cosa vuol dire \( x \mapsto \left( f(g^{-1} \cdot x) \right)_{g\in G} \)?


(La definizione su cui mi baso di azione di un gruppo è
Un'azione di un gruppo \( G \) su un insieme \( X \) è un omomorfismo \( \pi : G \to \operatorname{Perm}(X) \), dove per \( \operatorname{Perm}(X) \) intendo le permutazioni. )

So che sono tante domande, mi spiace ma proprio non mi è molto chiaro questa cosa.
Grazie infinitamente!

[Martino]

Ciao,

stai introducendo molta notazione non necessaria.

Il prodotto

\( \displaystyle \prod_{g \in G} Y \)

si può indicare anche con

\( \displaystyle Y^G \)

e non è altro che l'insieme delle funzioni \( \displaystyle G \to Y \) (proprio così!). In altre parole una funzione \( \displaystyle G \to Y \) la puoi indicare con \( \displaystyle f:G \to Y \) ma anche come \( \displaystyle G \) -upla \( \displaystyle (f(g))_{g \in G} \) . Quindi puoi dimenticarti delle \( \displaystyle G \) -uple e concentrarti su \( \displaystyle Y^G \) = {funzioni \( \displaystyle G \to Y \) }.

Ora $G$ agisce a sinistra su $Y^G$, come? Prendi $alpha in G$ e $f:G \to Y$, allora $alpha f (g) := f(alpha^{-1} g)$. E' un'azione perché

$(alpha (beta f)) (g) = beta f (alpha^{-1} g) = f(beta^{-1} alpha^{-1} g) = f((alpha beta)^{-1} g) = ((alpha beta) f) (g)$.

Se $f:X to Y$ è una funzione considera $phi: X to Y^G$ definita da $x to h_x$ dove $h_x(g)=f(g^{-1}x)$. Vogliamo mostrare che è $G$-invariante. Abbiamo che

$h_{ax}(g)=f(g^{-1}ax)$,
$ah_x(g)=h_x(a^{-1}g)=f(g^{-1}ax)$

sono uguali, quindi la funzione $phi$ è $G$-invariante!

Ti resta da mostrare che la funzione che manda $f$ in $phi$ descritta sopra ammette inversa.

Prova a vedere il tutto sotto questa ottica, ti dovrebbe risultare più chiaro.

[3m0o]

Ciao, in primo luogo grazie mille per la risposta.
In secondo luogo la notazione non è la mia ma della mia professoressa.
In terzo luogo la professoressa ci ha inviato per mail un complemento in cui dimostra che la sua definizione di costruzione di \(G \)-azione cofree (quella della mia domanda) è equivalente a considerare l'azione \( G \), \( G \times \mathcal{F}(G,X) \to \mathcal{F}(G,X) \), dove \( \mathcal{F}(G,X) \) sarebbe il tuo \(X^G \) poiché lei denota con \( X^G:=\{x \in X | g \cdot x=x, \forall g \in G \} \), ma poco importa. Dove l'azione di \(G \) su \( \mathcal{F}(G,X) \) è descritta da da
\[ (g,f)\mapsto g \cdot f \]
Infatti è un azione poiché per ogni \(a,b,c \in G \) abbiamo
\[ (a \cdot (b \cdot f) )(c)= (b \cdot f )(a^{-1} c)= f((ab)^{-1}c)= ((ab) \cdot f)(c) \]
evidentemente \( (e \cdot f )( c)=f(ec)=f(c) \)
E pertanto \( \mathcal{F}(G,X) \cong \prod_{g \in G} X \).

Che sostanzialmente è quello che mi hai spiegato te.

Però negli esercizi si basa su quella data in corso, e così presumibilmente anche all'esame. Ora se a livello di intuizione è più chiara questa definizione, devo anche pensare a livello pratico (insomma fare un esame manipolando gli oggetti )
Nelle soluzioni dell'esercizio ci sono diversi passaggi che non capisco. Potresti aiutarmi a caprili
Definisce \( \alpha : \mathcal{F}(X,Y) \to \mathcal{F}_G(X, \prod_{g \in G} Y) \) in modo tale che \( \alpha(f)(x) = (f(g^{-1} \cdot x))_{g \in G} \)
(che presumo sia un oggetto del tipo \((f(g^{-1} \cdot x))_{g \in G}= ( f(x), f(g_1^{-1} \cdot x),\ldots, f(g_n^{-1} \cdot x) ) \) se l'ordine di \(G \) è \(n+1 \). )
E dimostra che la l'applicazione \( \alpha(f) \) è G-equivariante. Per tutti gli \(h \in G \) e per tutti gli \( x \in X \)
\[ \alpha(f)(h \cdot x) = ( f(g^{-1} \cdot(h \cdot x)))_{g\in G} \underset{k^{-1}=g^{-1}h}{=} ( f(k^{-1} \cdot x))_{hk \in G} = h \cdot ( f(k^{-1} \cdot x))_{k \in G} = h \cdot \alpha(f)(x) \]

Non capisco la terza uguaglianza dove prima mi fa variare \( hk \in G \) ma non dovrebbe far variare solamente \(k=h^{-1}g \) ?
Poi non capisco come fa a portare "fuori" l' \(h \) e dire che varia solo \(k \).

Per la funzione inversa pure non capisco alcune cose
\( \beta : \mathcal{F}_G(X, \prod_{g \in G} Y) \to \mathcal{F}(X,Y) \).
E poniamo \( \beta(f)(x) = \pi_e(f(x)) \) per tutti gli \( x \in X \), dove \( \pi_e : \prod_{g \in G} Y \to Y \) è la proiezione sulla componente data per l'elemento neutro \( e \in G \). E in questo modo risulta facile dimostrare che \( \beta \circ \alpha= \operatorname{id} \).
Per dimostrare che \( \alpha \circ \beta = \operatorname{id} \)
Prendiamo una funzione \( f: X \to \prod_{g \in G} Y \), G-equivariante, notaiamo \( f_g = \pi_g \circ f \), dove \( \pi_g \) è la proiezione corrispondente a \( g \in G\). E per tutti i \( g \in G \) e \( x \in X \) risulta
\[ f_e(g^{-1} \cdot x)= \pi_e(f(g^{-1} \cdot x)) = \pi_e ( g^{-1} \cdot f(x))= \pi_e( (f_k(x))_{g^{-1}k \in G}) = f_g(x) \]
L'ultima uguaglianza non la capisco.
Dunque per tutti gli \( x \in X \)
\[ \alpha(\beta(f))(x) = ( \beta(f)(g^{-1} \cdot x))_{g \in G} = ( f_e(g^{-1} \cdot x) )_{g \in G} = (f_g(x))_{g \in G} = f(x) \]

Non capisco molto bene inoltre cosa l' applicazione \( \pi_g \).

ps: ora penso a come farlo con l'altra definizione (non dovrebbe essere troppo diverso però).

[Martino]

L'azione di $G$ su $Y^G$ è definita da $h * (x_g)_g = (x_g)_{hg}$ (e questa uguaglianza ti dovrebbe chiarire molte cose).

Questo è equivalente a quello che ho scritto qui

Ora $G$ agisce a sinistra su $Y^G$, come? Prendi $alpha in G$ e $f:G \to Y$, allora $alpha f (g) := f(alpha^{-1} g)$.

Infatti chiamando $gamma$ la funzione associata a $(x_g)_g$, cioè $gamma(g)=x_g$,

e chiamando $delta$ la funzione associata a $(x_g)_{hg}$, cioè $delta(hg)=x_g$,

è chiaro che

$gamma(h^{-1} g)=x_{h^{-1}g}=delta(g)$

In altre parole $h gamma = delta$.

Chiaro così?

Una volta chiarite le definizioni sono conti.

[3m0o]

Okay ho capito. Il fatto è che io permutavo i termini di \( \left( f(g^{-1}h \cdot x ) \right)_{g \in G } \) mentre le soluzioni permutano solo gli indici dei termini. Per spiegarmi meglio faccio un esempio.
considero \(G \) il gruppo additivo \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \). E considero \(h=1\)
Devo avere \( \alpha(f)(x+h) = h \cdot \alpha(f)(x) \)
Abbiamo che
\( \alpha(f)(x)=(f(-0 \cdot x), f(-1 \cdot x), f(-2\cdot x))= (f(0 \cdot x), f(2 \cdot x), f(1\cdot x))\)
Rispettivamente i termini di indici \( g_0 = 0, g_1 = 1, g_2=2 \).
\(\alpha(f)(1+ x)= \left( f((-g+1) \cdot x ) \right)_{g \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} }= (f(1 \cdot x), f(0 \cdot x), f(2 \cdot x)) \), i cui indici sono rispettivamente \(g_0 =0,g_1=1,g_2=2 \).
Ora pone \( -k_i=-g_i+h \) qundi quando varia \(g_i \) in \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) è come se varia \( k_i+h=g_i \) in \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \), per \(i=0,1,2\).
\((f((-0 +1) \cdot x), f((-1 +1) \cdot x), f((-2 +1) \cdot x)) = (f(1\cdot x), f(0 \cdot x), f(2\cdot x)) \)
i cui indici sono rispettivamente \( k_0+1=2+1=0,k_1+1=0+1=1,k_2+1=1+1=2 \) pertanto \( k_0=2, k_1=0,k_2=1 \)
a questo punto le soluzioni tirano fuori \(h \) nel seguente modo. Lasciando invariato l'ordine dei termini dentro, ma cambiando l'ordine degli indici.
\(1\cdot( f(1\cdot x), f(0 \cdot x), f(2\cdot x)) \) i cui indici pertanto sono \( k_0=2, k_1=0,k_2=1 \)
e io mi dicevo che ottengo qualcosa che non è \(1 \cdot \alpha(f)(x) \). Poiché
\(( f(1\cdot x), f(0 \cdot x), f(2\cdot x)) \neq (f(0 \cdot x), f(2 \cdot x), f(1\cdot x))\).
Mentre invece abbiamo che le considera uguali perché gli indici corrispondono
infatti \( k_0 + 1 = g_0=0 , k_1+1=g_1=, k_2+1=g_2=2 \)
E inoltre pure
\(( f(1\cdot x), f(0 \cdot x), f(2\cdot x)) = (f(0 \cdot x), f(2 \cdot x), f(1\cdot x))\).
Infatti \( k_0 = g_2, k_1=g_0, k_2=g_1 \).
Perché nel termine di sinistra \( f(1 \cdot x) \) ha indice \( 2 \) e nel termine di destra \( f(1 \cdot x) \) ha indice 2. Quindi sono nella "stessa posizione" sebbene "gli scrive in posizioni differenti". Analogamente anche per gli altri termini hanno gli stessi indici (quindi sono nella stessa posizione), quindi invece di permutare gli elementi permuta gli indici lasciando invariato l'ordine degli elementi nella \(n\)-upla.

Quindi l'azione è solo sugli indici!