24/11/2019, 23:58
29/11/2019, 15:14
29/11/2019, 18:12
Ops, forse ho dato per scontato questa cosa e non dovevo (eppure io stesso ho avuto questa perplessità all'inizio...). Come ho detto nel post in apertura, \(A \times B\) è accompagnato da due funzioni (che sono le classiche proiezioni su \(A\) e \(B\)). Quindi "al posto di \(A \times B\)" non basta mettere \(Z\), perché questo dato da solo non basta: deve avere con sé due funzioni \(Z \to A\) e \(Z \to B\). Cioè: in questa descrizione il prodotto di \(A\) e \(B\) consta di un oggetto e di una coppia di frecce uscenti da questo e puntanti uno ad \(A\) e l'altro a \(B\).Bremen000 ha scritto:Qui è chiaro chi sono $\pi_A$ e $\pi_B$ ma nel momento in cui voglio mettere al posto di $A \times B$ un qualsiasi insieme $Z$ e dire che se $Z$ soddisfa (*) allora $Z = A \times B$ (immagino a meno di isomorfismo di insiemi), come interpreto $\pi_A: Z \to A$ e $\pi_B: Z \to B$ ?
29/11/2019, 19:51
03/12/2019, 19:46
04/12/2019, 17:45
No, questo è falso il problema è che la biiezione non è canonica; prendi una biiezione \(f : X\to A\times B\); certo per ogni coppia di funzioni \(Z\to A, Z\to B\) troverai una funzione \(Z\to X\) componendo con l'inversa di $f$, ma niente ti assicura che questa sia unica (e in generale, non lo sarà: ogni insieme abbastanza grande ha almeno due automorfismi distinti...)._fabricius_ ha scritto:mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni.
04/12/2019, 21:04
Ti dico che facendo l'esercizio capisci che non c'è la necessità di fare questo sforzo: quello che conta è unicamente la proprietà in gioco. Ripercorriamo l'esercizio 2. Un prodotto è \(A \times B\) con le funzioni \(\pi_A\) e \(\pi_B\); supponiamo che anche \(P\) con una coppia di funzioni \(p_A \colon P \to A\) e \(p_B \colon P \to B\) sia un prodotto. Ci interessa come esplicitamente sono le due funzioni \(p_A\) e \(p_B\)? No, e lo ripeto: ci interessano le proprietà. Abbiamo infatti che sono uniche le funzioni \(g\) e \(h\) per le quali il seguente diagramma commuta_fabricius_ ha scritto:Per esempio quanto al 2. mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni.
05/12/2019, 13:36
solaàl ha scritto:No, questo è falso
05/12/2019, 16:40
Non è questo quello che volevo dimostrare, ma forse non ho capito cosa volevi sottolineare tu?_fabricius_ ha scritto:solaàl ha scritto:No, questo è falso
Sì, ma nel tuo post mostri proprio che, fissata la biiezione [...] si ottiene un nuovo oggetto prodotto.
Non ho capito: sei convint* che i diagrammi commutativi siano un modo peculiare e congiunturale di rappresentazione, invece che esattamente l'approccio strutturale cercato? Se sì, perché, cosa c'è di più strutturale e di meno ancorato alla materialità?Mi premeva anche sottolineare che non è sempre necessario partire in quarta coi diagrammi per parlare di proprietà universali, limiti, oggetti iniziali e relative dualizzazioni. Trovo un po' paradossale che per parlare di concetti nati per avere un approccio strutturale alla matematica poi è comune affezionarsi alla materialità di un singolo modo di parlarne.
Sì, sembra anche a me sia così.In primis, che è solo partendo da un congruo numero di esempi che si cerca di distillare una proprietà universale. Ad esempio, nel thread si è partiti dando per scontata la nozione di coppia ordinata, ma esistono infiniti modi di definire concretamente una coppia ordinata in ZFC a partire dalla mera relazione di appartenenza. A seconda delle definizione si otterranno, procedendo con le costruzioni standard, diversi insiemi prodotto e unione disgiunta (coprodotto in Set), ma è chiaro che in un certo senso cambia poco. Il fatto che soddisfacciano tutte la stessa proprietà universale assicura allora che siano tutte definizioni accettabili, e allo stesso tempo distilla (alcune del)le proprietà che interessano davvero. Ed ecco che allora la nozione di proprietà universale ha il grande pregio di gettare un po' di luce sull'espressione in un certo senso.
Non ho capito la domanda, qui...Infine rilancio con una domanda. Nel voler definire concretamente esistono criteri per preferire una definizione a un'altra. Ad esempio si può desiderare che la definizione sia la stessa per tutti gli insiemi, oppure imporre altri criterî di semplicità della definizione. Come distillereste e interpretereste in senso categoriale queste proprietà? Funtorialità? Naturalezza?
08/12/2019, 17:35
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